I-i-XKrrTQ(o-f-À.]/)r/a;d>s

lllilBÉ

Uiiuss a.ins la tnconc ne la capiiianie :

Déterminer la forme d'équilibre d'un iiqui flans un vase de forme donnée.

Soient

V le volume du fluide supposé donné; v l'aire de sa surface libre; 2 celle de la paroi mouillée;

H la liauteur du ecnlrc de gravité du liquide ai plan horizontal des xv-

On obtiendra la surl'acc cliercliée en reudan: lV.prcs.ion

où n el b sont des constantes.

z l'ordonnée de la surface libre;

p, q, r, s, t ses dérivées partielles première el set

Z, P, Q l'ordonnée de la paroi et ses dérivées pai

On aura

" " S vT -1-7^^ dx dy.

CALCUL DES VARIATIONS. SSy

double

avec les conditions : i" que Tintégrale V soit constante; a" qu'on ait aux limites du champ Féquation de condition

Z zrz Z.

Nous aurons à former la variation

(I 4- XV) —- A A Iz -H D ^x -\- E87) ds H- Q M 8m dxdy,

v/i -f 7>*-h 7* \li -^ p--i-q*

D =: © ces NX, E — <p ces N Y,

zz: 6-3 -f-X - -

^'^' \/i~h />* H- 7» ^0' \/ 1 -f->=^ -r- ry 2 (i H- 7*)/- — ipqs-^ (i -f-/>*)^

(lH-/^»-i 7»)

L'équation aux dérivées partielles de la surface libre cherchée sera donc

Cette équation est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable. En effet, le dernier terme de M est égal

à p -h -rj-» Il et R, désignant les deux rajrons de courbure

principaux. On aura donc

Passons à la considération de l'intégrale simple. On a, le long de la courbe limite, 5 ~ Z, ce qui réduit ç à ses

AiruiiL ue la la valeur ucuû puur la ïuuïiiiuer uans pois égalant à zéro les coefficients de ^x et de Sy.

I /)cosNX+?co3NY

cosNX + ycosWY

(P~/>)-Hf cosNX = c

On a d'ailleurs évidemment, en désignant par ar, X + dx, y + dy, z -\-dz deux points inûniment v la courbe limite,

d'où et enfin

ds -^pd-x -f- qdy^ Vdx + Qrfv; (P— /»)cosNY — (Q — y)cosNX.

La première des équations (4) deviendra donc, f nant cosKY et supprimant le facteur cosNX,

CALCUL DES YÀRIATIOiVS. D09

I désignant Tan^^lc des plans tangents à la surface libre et à la paroi du vase. Cet angle sera donc constant.

La seconde équation redonnera ce même résultat en éliminant cosNX et supprimant le facteur cosNY.

400. Cherchons encore à déterminer les surfaces d'aire minima. Il faudra annuler la variation de Tintégrale

Posant a = ^ = A 1^ o dans les calculs précédents, on aura T-. j [a oz -+- V I -t- />--:- (/* (ces NX ûj; -h cosNYo^T')]^?^

-S^R-'-ïrJ'''''-''-

L'équation aux dérivées partielles des surfaces cherchées sera

donc

Cette équation a été intégrée au n" 280.

Si Ton donne le contour qui limite le champ et la valeur de z en chacun de ses points, on aura à la limite ox ^-: o, oy^= o, oz = o, et l'inlégrah^ simple disparaîtra d'elle-même. Mais les valeurs limites des trois variables donneront une courbe par laquelle doit passer la surface cherchée, et l'on aura à déterminer par cette condition les fonctions arbitraires que l'intégration a introduites.

Si une portion de la courbe liniile est inconnue, mais assujettie à se trouver sur une surface donnée z -^7j, on aura, pour l'angle i sous lequel la surface inconnue vient la rencontrer, l'équation

cosi - o,

laquelle montre que les surfaces se coupent à angle droit.

54o troisièAk partie. - chapitre IV.

Supposons enfin qu'on demande la surface d'aire mînima qui renferme un volume donné V. On aura à annuler la virîatîon de Fînlégrale

ce qui donnera réipiutiou auxdérivt-es partielles

Les fonctions arbitraires de Tinlégration se détermineront par l'équation V=const., jointe aux conditions aux limites.

401. Le calcul (les variations fournit un procédé commode pour la transformation des équations aux dérivées partielles.

Pour en donner un exemple, considérons, avec Jacobi, l'intégrale triple

(^lierclions la variation SI en supposant le clianip d'inlégralion invariable, ainsi (]uc les valeurs de V et de ses dérivées du premier ordre aux limites du ciiamp On aura

Vj\i)c Ox dv Or àz ôv J

ou, en intégrant par parties les trois termes respeclivemcnl par rapport à x^ >', z et remarquant que les termes intégrés s'annulent aux limites,

kJ V '^''" Ov uz- !

l^a condition pour (jiic ol soit identi(|uement nul sera donc fournie par l'équation aux dérivées partielles

J'Y <V\ <}-V K(.'mplarons les coordonnées rectangles ^r, >-, z par un sys-

CALCl'L DES VARUTIONS. 54 1

tèinc de coordonnées eiirvilijj;ncs orthogonales /, //, i>, déûnies par les équations

t — F{jr,yyZ), u -*(x,7, 5), v ".W{j:,yjZ).

On aura (t. 1, n** S30).

<^F d^ ÔF d^ ÔV d^

Oj^ ôx ' ôy dy ^ Oz t)z *

dx ô.v ' ôy ÔV ' âz Jz " * ôj ÔF ôH' ÔF ÔT ÔF

ôx Ôx ÔY ÔY ÔZ ÔZ '

fdvy /()Fy /àvy

dx^ -r dy^ -H dz' = --- 4- - - + - - .

Enfin l'élément de volume rapporté aux nouvelles coordonnées sera

, , , dtdtidv , , , , dx dy dz ^r. . ^ ^r= j dt du dv^

J = — z ^=i étant le moduir du jacobien de x^ y^ z par rap-

y/AAj A,

port à /, ?/, i'.

On a d ailleurs

*^^' àV ÔF ô\d^ ôWô^ ôx ôt ôx ' ou ôx ôi' ôx

ô\ ÔV ÔF ^ ô\' d<P ôV ÔW

ÔZ ' ôt ÔZ ' ou ÔZ ÔV ÔZ '

;V,a TuoisiÈ:nK partie. - - gdapitre iv.

d'où, en tenant compte des relations précédentes,

/^v\' /d\y fôyy- jdvy- ^ /«)v\» ^ /<?v\«

Uj ^fe) -U) --HdTJ ^^'U) -^^«Uj-

L'intég^rale I, rapportée aux nouvelles variables /, «, v, deviendra donc

Le champ de cette nouvelle intégrale sera invariable comme

celui de Tintégralc primitive, ainsi que les valeurs de V,

dV dV dV r .. , i

-r-> A - > ->— aux limites du champ. àt du dv ^

Exprimons que ol s'annule dans ces conditions. On aura

ou, en intégrant par parties les divers termes de cette expression et remarquant que les termes intégrés s'annulent aux limites,

La condition pour ([ue SI s'annule identiquement sera donc

ô ô\ d . dV d . dV

dette nouvelle étjuation est donc équivalente à Téquatlon (5), dont elle sera la transformée.

Fi:^ DU TOME TROISIÈME ET DERNIER.

221G9 l*aris. - impr. GALTIUKR-YlIXAliS ET FiLS, quai de» (;raiia».AttKUétiii«. U.

CALCIL DES VARIATIONS. 54 1

tèine de coordonnées curvilignes orthogonales /, w, v, définies par les équations

On aura ( 1. 1, n^ S30).

ôx ôx ' dy ÔY ~^ ôz ()z ~" '

dx ôx ' àr ()y àz Jz à^V ÔF ÔW ()F fM- f)F Ox ()x dy Oy ' ôz Oz

/ôFy /()F\* fôFY dx^ -r- dy* -hdz- — h - - +

Enfin l'élément de volume rapporté aux nouvelles coordonnées sera

, , . dtdufh , , , , dx dy dz —.-... — rrr J dt du dvy

y A Al A, J = — ^.^^=i étant le module du jacobicn de x^ y, z par rap-

y/AAj A;

port à /, //, r.

On a d'ailleurs

^V ÔV ÔF âYâ^ ÔV â^

ôx ôt ôx ' ou ôx ô^' ô.c

ô\ ô\' ÔF ÔW d^i> ô\ ôw ôs Ôt dz ' OU ÔZ ' ÔV ôz'

5^3 TUOISIÈMK PARTIE. - - CnAPITRE IV.

d'où, en tenant compte des relations précédentes,

L'intr «Ivraie I, rap[)ortée aux nouvelles variables t, «, i?, deviendra donc

S[Kvt)"-'0'-<^')>"'"*-

Le champ de cette nouvelle intégrale sera invariable comme

celui de Tintégrale primitive, ainsi que les valeurs de V,

dV dV dV r » j 1

-r-9 > > -r- aux limites du champ. àt du dv ^

Exprimons que SI s'annule dans ces conditions. On aura

ou, en intégrant par parties les divers termes de cette expression et remarquant que les termes intégrés s'annulent aux limites,

La condition pour (|ue ol s'annule identi({uement sera donc ô - dV d , dV d , , dV

— AJ -1- - A,J -— -i- -r-A,J-j- — O.

ùt Ut au au dv df

dette nouvelle écjuation est donc équivalente à l'équation (5), dont elle sera la transibrmce.