PROPRIÉTÉS DES LIGNES DE COURBURE

720. Prenons la normale MN pour axe des z : p et tf sont nuls, et l'équation (8) devient

Le produit des racines de cette équation est égal à — 15 donc les tangentes menées aux lignes de courbure qui se croisent au point M sont perpendiculaires entre elles.

Si maintenant on prend les plans principaux pour plans (les zx et des 2/, on a 5 = 0 (702). L'équa- •; lion (9) a une racine nulle et l'autre infinie : donc les i deux lignes de courbure ont respectivement pour tangentes, au point M, l'axe des x et l'axe desj^, c'est-à-dire les tangentes aux sections principales. Les deux séries de ligne de courbure se coupent donc à angle droit sur la surface et la partagent en rectangles infiniment petits. Si l'on avaitj à la fois, 5 1=: o, r = ^, les deux valeurs de

cIy . .

-7- seraient indélerminées. Il y aurait une infinité de

lignes de courbure passant par le point M, autour duquel toutes les courbures seraient égales : ce serait donc un ombilic. Ce caractère peut servir à trouver les ombilics

d'une surface,car si l'on exprime que l'équation (8) donne

dy , ,

pour — une infinité de valeurs, on aura les deux conditions déjà trouvées (706)

i -^ p- 1-4-7' Pn

721 . Soient O un point de la surface, O2 la normale, OA. et OB les deux lignes de courbure, Ox et Oj leurs tangentes. Si O'et O" sont deux points infiniment voisins du point O sur les lignes OA et OB, on sait que les normales O'K et O'^L rencontreroni Oz : soient K et L les Figr. 128. points d'intersection. Je dis que

OK et OL sont précisément les rayons de courbure, au point O, des sections principales zOxj zOj. En effet, puisque Ox est tangente à lacourbeOA, le point O' infiniment voisin du point O sur OA peut être considéré comme appartenant au plan zOx. Donc la droite O'Rqui est normale à lacourbeOA, comme étant normale à la surface, déterminera, par sa

244 couTxS d'analyse.

rencontre avec la normale Oz, le centre de courbure de la section principale située dans le plan zOx. On ferait voir de la môme manière que OL est le rayon de courbure de la section principale faite par le plan zOy.