REMARQUES

27. Les courbes données par les équations P = o, Q = o, ne sont pas les seules qui puissent servir à représenter par leurs intersections les racines de l'équation f[z) — o. En effet, on ne change pas les racines de cette équation en multipliant son premier membre par une constante réelle ou imaginaire. Or, le premier membre de l'équation

(./ + èv/^)/(3)==0

se changera pour z = x -\-f \f^\ en

et les courbes données par les équations

P, --= ^P - èQ = o, Q, = Z-P + «Q = o

se couperont aux points-racines de la proposée.

Les courbes P, et Q, jouissent des mômes propriétés que les courbes P et Q, et si l'on ajoute à cette remarque, qu'en chaque

point de la courbe Pj le rapport t^ 6st égal à -5 on aura deux

théorèmes, qui pourront s'énoncer d'une manière abrégée comme

il suit :

Le rapport j- a la même valeur à tous les sommets (Van polygone régulier infiniment petit de in côtés, dont le centre est un point-racine de l'ordre n.

Le rapport -^a la même valeur à tous les sommets d'un poly^

gone régulier infiniment grand de 1 m côtés dont le centre est le point de concours des asymptotes. — Le dernier théorème n'a lieu que dans le cas où P et Q sont des fonctions algébriques et entières de degré m.

28. Tous les théorèmes démontrés dans cette Note ne s'appliquent qu'aux fonctions que M. Liouville appelle bien déterminées^ c'est-àdire à celles qui ne prennent qu'une seule valeur pour chaque valeur de la variable z =: x-\- y^J—\^ et qui varient d'une manière continue quand le point (x, j) se déplace suivant une courbe quelconque.

EXERCICES SUR LA RECTIFICATION DES COURBES PLATEES, par M. E. Prodhet.

Formule pour la rectification des arcs. — Approximation des arcs. — Transformation des arcs de courbe. — Courbes rectifiables.