Application au paraboloïde elliptique : -xa ib

Il existe deux ombilics situés dans le plan jOz,

suite de la. courbure des surfaces.

708. Sur la surface dont tous les points sont des ombilics. — La sphère est la seule surface dont tous les points soient des onibilics.

709 et 710. Théorie de l'indicatrice. — Si l'on coupe la surface par un plan parallèle au plan tangent et infiniment voisin de ce plan, la section obtenue sera une courbe infiniment petite et du deuxième degré, en négligeant des quantités infiniment petites par rapport à ses dimensions.

711. Les rayons de courbure des différentes sections normales faites au point 0 sont proportionnels aux carrés des rayons de cette courbe, qui est nommée V indicatrice de la surface en ce point.

712. Quand l'intersection de la surface par un plan parallèle au plan tangent, et infiniment voisin, est une hyperbole, l'indicatrice se compose de deux hyperboles conjuguées. Le rayon de courbure de la surface devient infini et change de signe quand le plan sécant, en tournant autour de la normale, vient passer par une asymptote commune aux deux hyperboles.

713. Conséquences géométriques. — A toute propriété des diamètres d'une section conique, correspond une propriété des rayons de courbure des sections normales qui passent par les diamètres de l'indicatrice.

714. Quand l'indicatrice est un cercle, le point considéré est un ombilic. Cela arrive sur les surfaces du second ordre aux points où le plan tangent est parallèle aux sections circulaires. ^