Différences des fonctions entières

Les différences nfi*^ d^une fonction entière du m^ degré sont constantes, lorsque la variable croit par degrés égaux. Les différences suivantes sont nulles.

733 et 734. Exemples.

735. Différences de quelques fonctions fractionnaires oo transcendantes. — La variable croit par degrés égaux.

* ""^ x[x->rh) [x-\-7.h)..\x-{-[n — i)A]'

x[x->rh) [x-\-7.h)...[x-[-nh)'*

x(X'i'/i).,.(x-\-nh) [x-i- (/2-l-i)^.V et ainsi de suite.

3** A sin(«^-h^) = ^ sin - ah cos(ax + b-\-^\j

A cos(û^ + 6) = — a sin - ^/^ sin ( rto? + 6 H U

A*sin (ax + fc) = — 4 sin* — sin {ax -^b-hah), et ainsi de suite.

736. Calcul inverse des dipféreiNges. — Définitions et notations. — Le calcul inverse des différences a pour objet de déterminer une fonction quand on connaît sa différence finie, ou lorsqu'on a une relation entre celte fonction, quelques-unes de ses différences et la variable indépendante.

La fonction ¥{x) dont la différence est /(x) se représente par

\^/(j7) et se nomme l'intégrale aux différences finies de/(x). On a

737. Dans le calcul intégral ordinaire, quand on a obtenu une intégrale particulière d'une différentielle donnée, on ajoute à cette première solution une constante arbitraire pour former l'intégrale générale. Dans le calcul intégral aux différences finies, il faut ajouter à une intégrale particulière la fonction la plus générale dont la différence est nulle, w(a:),

A xs[x) = vi(x-{- h) — fs(œ) = o.

On aurait une fonction jouissant de la propriété en question, si Ton prenait

«•(a:) = Y( sm— ^j COS— r— j>

^ désignant une fonction tout à fait arbitraire.