MÉTHODE DE M. CAUCHY. FORMULE FONDAMENTALE
478. Soient : une variable imaginaire, r son module et p son argument, en sorte qu'on ait
z = r(cos/? -f \J — i sin/>) = reP\/--i.
Soit f(z) une fonction de z qui reste finie et continue, ainsi que sa dérivée, pour toute valeur de z dont le module r est inférieur à une certaine limite R. Supposons, en outre, qu'en laissant le module constant et en faisant croître l'angle p d'une manière continue depuis une valeur quelconque a jusqu'à la valeur a + 27T, la fonction reprenne, pour p = a H- 2 7r, la valeur qu'elle avait pour p = a. Cette condition, que M. Cauchy omet dans ses énoncés, mais qu'il suppose dans ses démonstrations, n'est pas toujours remplie quand la fonction f[z) a plusieurs valeurs différentes pour une même valeur de z. On ne considère ici qu'une des valeurs de f (z) et la valeur correspondante de sa dérivée.
Cela posé, je dis quon a la formule
- /»«-r-air
OU
/{o) = ^J A^-')dP,
pour tout module r moindre que R.
En effet, z étant une fonction de r et de /?, si l'on différentie%/(z), tour à tour par rapport à r et à p, on aura
et, par conséquent,
r^—i dP
Comme, par hypothèse^' (z) reste finie et continue pour toute valeur de z dont le module est moindre que R, la même propriété appartient aux deux membres de cette dernière équation. En les multipliant par dr.dp, et les intégrant par rapport à r depuis zéro jusqu'à r, et par rapport à p depuis a jusqu'à a -h 27T, on a
Jx Jo dr Jo ryj- I Jm ^
or.
dMdr =/(>)-/(<>),
et puisque
on a
« + 1ÎT
^+s=/[^«+»)/=T]-/(^iPr).
Mais le second membre est nul par hypothèse 3 par con-
a6 cours d'analyse.
séquent
dp dP = °>
et
donc
ou
Jr»a-+-aw [/(*)-/(o)]^ = o; a
dp = \ f(*)dP,
ce qu'il fallait démontrer.
479. Si f(z) eif(z) restent finies et continues pour toutes les valeurs de z dont le module est compris entre ret p, en appelant fia valeur de z qui a p pour module, on aura
f[z)dp= / /(Ç)rf/,:
Jf»«-t-3W f(z)dp est indépendante du
module r, ce qu'on vérifie en différentîant cette intégrale par rapport à r ( 451 ).
