Cours d'analyse de l'École polytechnique

Charles-François Sturm

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De quoi ça parle

Essais, discours, manifestes, pour penser et débattre. 11 h 00 (44 quarts d'heure) de lecture.

Premières lignes

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Chapitres

• Cours d'analyse de l'École polytechnique15 min
• SUITE DU15 min
• VI TABLE DES MATIÈRES15 min
• VIII TABLE DES MATIERES15 min
• CALCUL DES VARIATIONS15 min
• CALCUL INTÉGRAL15 min
• A SES LIMITES15 min
• Soit15 min
• A UN PARAMÈTRE QUELCONQUE15 min
• A UN PARAMÈTRE VARIABLE15 min
• Si l'on multiplie par dy l'intégrale définie15 min
• L'interprétation géométrique de cette formule est15 min
• On donne le nom $ intégrale eulèrienne de se15 min
• On aura de même15 min
• OO15 min
• Si l'on fait a = 00 , c = o, on a15 min
• L'intégrale15 min
• GO J — 00 */ O15 min
• EMPLOI DES IMAGINAIRES15 min
• DIFFÉRENTIELLE15 min
• SUITE DES INTÉGRALES DÉFINIES. - INTÉGRALES15 min
• MÉTHODE DE M. CAUCHY. FORMULE FONDAMENTALE15 min
• En remplaçant /(*) par f (x -h z) dans la for15 min
• Soit encore15 min
• COS15 min
• DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS15 min
• RELATIONS ENTRE LES INTÉGRALES DE PREMIERE ET DE SECONDE ESPÈCE15 min
• DES FONCTIONS T15 min
• APPLICATIONS A LA RECHERCHE DES VOLUMES ET DES CENTRES DE GRAVITÉ15 min
• r^=ifa=ïii15 min
• VARIABLES15 min
• Soit15 min
• ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. DÉFINITIONS15 min
• SÉPARATION DES VARIABLES15 min
• On peut encore séparer les variables lorsque 1 équation15 min
• Exemples. — i15 min
• ORDRE15 min
• ÉQUATIONS LINÉAIRES15 min
• ÉQUATIONS QUI SE RAMÈNENT AUX ÉQUATIONS LINÉAIRES15 min
• IX15 min
• PROBLEME DE DE BEAU NE15 min
• PROBLEME DES TRAJECTOIRES15 min
• Soit, par exemple15 min
• Si l'équation se réduit à15 min
• CAS OU L ÉQUATION PEUT ETRE RÉSOLUE PAR RAPPORT15 min
• Prenons pour exemple l'équation15 min
• Les droites représentées par l'intégrale15 min
• Toute équation différentielle du premier ordre15 min
• On vient de démontrer que l'équation différentielle15 min
• existe une infinité de facteurs propres à rendre15 min
• DÉTERMINATION DU FACTEUR U15 min
• Trouver le facteur rl'intégrabUité de l'équation15 min
• SOLUTIONS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES15 min
• Soient (i) Mdx + Xdf=o ou -£=f{xyy15 min
• Si Ton met l'intégrale sous la forme u — c = o15 min
• EXEMPLES DE SOLUTIONS SINGULIÈRES15 min
• FH15 min
• OT15 min
• TOUTE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ADMET UNE INTÉGRALE15 min
• Réciproquement, toute équation15 min
• Par exemple, soit15 min
• DIFFÉRENTIELLE15 min
• Pour éliminer deux constantes c cl c', on peut15 min
• Les intégrales du premier ordre permettent de15 min
• Enfin, l'intégrale multiplr / vdxn peut s'expri15 min
• Soit d'abord l'équation15 min
• Plus généralement, si Ton a 1 équation15 min
• Plus généralement, si Ton a l'équation15 min
• Exemples15 min
• Soit l'équation de Tordre m15 min
• APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES15 min
• h fo2 — c2=zce c15 min
• ÉQUATIONS HOMOGÈNES15 min
• Exemple15 min
• On traite de la même manière toute équation15 min
• Intégrer l'équation15 min
• DÉFINITION15 min
• DE SECOND MEMBRE15 min
• ÉQUATIONS LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS15 min
• I IO COURS D ANALYSE15 min
• Lorsque l'équation15 min
• I I 2 COURS D ANALYSE15 min
• DEUXIEME MÉTHODE15 min
• Autrement. Le coefficient k dans l'équation15 min
• Revenons à l'équation15 min
• TROISIÈME MÉTHODE15 min
• INTÉGRATION DE L'ÉQUATION LINÉAIRE COMPLÈTE15 min
• Soit15 min
• CONSTANTS15 min
• I 24 COURS D'ANALYSE15 min
• I2Ô COURS D'ANALYSE15 min
• AUTRE MÉTHODE15 min
• Si dans l'équation15 min
• Si15 min
• On obtient encore la valeur de ^ en remplaçant n15 min
• L'équation15 min
• PROPRIÉTÉS DE L* ÉQUATION DU SECOND ORDRE15 min
• DÉVELOPPEMENT PAE LA SÉRIE DE MACLAURIN15 min
• MÉTHODE DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS15 min
• Si, au lieu de supposer 6 — 2 différent de a, on15 min
• AUTRE FORME DE DÉVELOPPEMENT15 min
• Désignons par A et B les valeurs de z et de15 min
• dx I Kdx I d* I Kzdx15 min
• IO15 min
• Soit l'équation différentielle du second ordre15 min
• a^À*" -f- 2A'Bx6 4-. -.4- 2/1* LxA 4- î/^Mx/* 4-...=o15 min
• ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES15 min
• Soient15 min
• Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait trois15 min
• On a supposé que les équations proposées pou15 min
• Soit15 min
• IÔ2 COURS D ANALYSE15 min
• CAS DE DEUX ÉQUATIONS, METHODE DE D'ALEMBERT15 min
• INTÉGRATION DE TROIS ÉQUATIONS LINÉAIRES15 min
• AUTRE MÉTHODE15 min
• Prenons maintenant trois équations avec second membre15 min
• r+Pr +Q« + R« — o15 min
• Soient15 min
• PARTIELLES15 min
• ÉQUATIONS QUI SE RAMENENT AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES15 min
• Soit15 min
• Supposons donc que l'intégrale de l'équation15 min
• F "~"'Q~ = IT15 min
• D'ailleurs, toute intégrale15 min
• Oq satisferait encore à l'équation (4) en posant15 min
• Exemples15 min
• ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES15 min
• z = arc tan g a -+- C15 min
• Exemple. — Soit à intégrer l'équation15 min
• I.cp(a) = \a — \(m — a) ■+- le, <p(a15 min
• Intégrer l'équation aux différentielles partielles15 min
• SURFACES CYLINDRIQUES15 min
• SURFACES CONIQUES15 min
• Pour intégrer l'équation (5), on résoudra le15 min
• SURFACES DE RÉVOLUTION15 min
• Pour intégrer l'équation15 min
• PENTE15 min
• Considérons un ellipsoïde défini par l'équation15 min
• AUX DÉRIVÉES PARTIELLES15 min
• Soit15 min
• Cela posé, l'équation des surfaqes développables15 min
• DES SURFACES RÉGLÉES15 min
• Différentions l'équation15 min
• Soient15 min
• ÉQUATION DE LA CORDB VIBRANTE15 min
• Soii15 min
• COS G = R ~- _______ L15 min
• THÉORÈME DE MEUNIER15 min
• COURBURE DES SECTIONS NORMALES15 min
• SECTIONS PRINCIPALES15 min
• VARIATION DE LA COURBURE DES SECTIONS NORMALES15 min
• Nous allons maintenant discuter la valeur gêné15 min
• I -f n» -+- 2,pqm -+- (i -+- a7) m15 min
• Appliquons ces principes au paraboloïde elliptique15 min
• I -|- p* pq I-H q15 min
• I -+- p2 dx q fLr i -+- q* dy p 4f15 min
• tt15 min
• En remplaçant h par z, on aura15 min
• AVI , , O'M15 min
• CONSÉQUENCES GÉOMÉTRIQUES15 min
• La formule15 min
• TANGENTES CONJUGUÉES15 min
• Trouver sur la surface de l'ellipsoïde15 min
• Pour la surface xyz = m*, on a15 min
• LIGNES DE COURBURE15 min
• PROPRIÉTÉS DES LIGNES DE COURBURE15 min
• C'est ce qu'il est facile de vérifier par le calcul15 min
• Équation différentielle des lignes de courbure. — Soit15 min
• h ac15 min
• DES DIFFÉRENCES15 min
• NOTIONS PRÉLIMINAIRES15 min
• EXPRESSION DE A" II15 min
• On a, par définition15 min
• DIFFÉRENCES DES FONCTIONS ENTIERES15 min
• Soit u = a?". Alors15 min
• OU TRANSCENDANTES15 min
• ET NOTATIONS15 min
• Dans le calcul intégral, / f(x) dx représente la15 min
• On a trouvé15 min
• La formule de Taylor permet de trouver \ #w15 min
• La formule générale15 min
• Soit15 min
• L'équation (5), résolue par rapport à I f(x)dx15 min
• Supposons maintenant que les valeurs données de x15 min
• BUT DU CALCUL DES VARIATIONS15 min
• Soient15 min
• On peut aussi inteivertir l'ordre des signes S15 min
• Posons maintenant15 min
• Pour simplifier encore cette expression, posons15 min
• O COURS D ANALYSE15 min
• CAS OU LA FONCTION V RENFERME DEUX FONCTIONS DE X15 min
• DE L'INTÉGRATION15 min
• APPLICATIONS15 min
• DÉFINIE15 min
• L'équation JU = o revient à15 min
• CONDITIONS RELATIVES AUX LIMITES15 min
• CAS OU LA. FONCTION V CONTIENT DEUX FONCTIONS DE X15 min
• On peut aussi éliminer Tune des quantités15 min
• LIGNE LA PLUS COURTE ENTRE DEUX POINTS DANS UN PLAN15 min
• LIGNE LA PLUS COURTE ENTRE DEUX COURBES PLAJVES15 min
• AUTRE MANIERE DE RÉSOUDRE LES PROBLÈMES PRÉCÉDENTS15 min
• LIGUE LA PLUS COURTE ENTRE DEUX POINTS, DANS L ESPACE15 min
• Soit15 min
• SUKFÀCE DE RÉVOLUTION MINIMUM15 min
• I -+■ — d.rt15 min
• MAXIMUM OU MINIMUM RELATIF15 min
• Supposons qu'il s'agisse de rendre maximum Tin15 min
• Si Ton avait cherché le maximum de l'intégrale définie15 min
• PROBLÈMES SUR LES 1SOPÉRIMETRES15 min
• SUR UN CAS PARTICULIER DE LÀ FORMULE DU BIXÔME15 min
• COURS ^ANALYSE15 min
• l m — -h Yv ) TT=ZÎ + 9 -j-z = o15 min
• X ax15 min
• X^I = M5(X.)+N(XJ15 min
• X„+,= {& (XJ + K £1 (XJ + ...+-Q(XJ15 min
• COMPOSITION DE L' ÉQUATION LINEAIRE AU MOYEN DE SES SOLUTIONS15 min
• DEUXIÈME MÉTHODE DE COMPOSITION15 min
• REMARQUES SUR LES ÉQUATIONS LINÉAIRES15 min
• DÉFINITIONS PRÉLIMINAIRES15 min
• Relations entre les dérivées partielles du premier ordre15 min
• P ET Q15 min
• PROPRIÉTÉS DES COURBES P ET Q. — POINTS MULTIPLES15 min
• En second lieu, les courbes P et Q ont chacune, au point15 min
• PROPRIÉTÉS DBS COURBES DONNÉES PAR LES ÉQUATIONS P - Q = O, P4-Q15 min
• DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME DE M. CAUCHT15 min
• Si dans l'intégrale définie15 min
• REMARQUES15 min
• FORMULE POUR LA RECTIFICATION DES ARCS DE COURBE PLANE15 min
• APPROXIMATION DES ARCS DE COURBE15 min
• TRANSFORMATION DES ARCS DE COURBE15 min
• Trouver une courbe connaissant sa podaire15 min
• FORMULE FONDAMENTALE15 min
• APPLICATION AUX FONCTIONS ENTIÈRES15 min
• Soient15 min
• Si m est un nombre pair, on aura15 min
• CJO COURS D'ANALYSE. BOTE VI15 min
• Emploi des imaginaires15 min
• La valeur de / f[z)dp est indépendante du mo15 min
• CENTRES DE GRAVITE15 min
• Extension au cas de plusieurs variables. — Soit15 min
• On peut obtenir l'intégrale générale de l'équation15 min
• Si l'équation se réduit à15 min
• DÉTERMINATION DU FACTEUR P15 min
• SOLUTIONS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS A DEUX Y A RI A BLES15 min
• Toute équation15 min
• Posons v =f(x), nous aurons15 min
• ÉQUATIONS QUI PEUVENT S'ABAISSER A UN ORDRE INFÉRIEUR15 min
• MEMBRE15 min
• L'équation linéaire, en posant y= e^udxy prend la forme15 min
• LINÉAIRE A SECOND MEMBRE15 min
• Application : équation du second ordre15 min
• INTÉGRATION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES15 min
• Exemples15 min
• Équations aux différentielles totales. — L'équation15 min
• Surfaces cylindriques15 min
• Intégrer l'équation des surfaces cylindriques15 min
• L'intégrale de l'équation est15 min
• DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES15 min
• COURBURE DES SURFACES15 min
• On peut encore dire15 min
• Variation de courbure des sections normales15 min
• Application au paraboloïde elliptique15 min
• Propriétés des lignes de courbure15 min
• Notions préliminaires. — Soient15 min
• a, e, z étant des quantités variables15 min
• Différences des fonctions entières15 min
• Sommes des puissances des nombres i15 min
• Définitions et notations. — Soient15 min
• FONCTION SOUS LE SIGNE / NE DÉPEND PAS DBS LIMITES15 min
• Si Ton ne faisait varier que jr15 min
• L'équalion $\] = o entraîne les deux suivantes15 min
• Ligne la plus courte sur une surfàcb donnée. — Soit15 min
• Remarques sur l'intégration de l'équation15 min
• Maximum ou minimum relatif. — Il s'agit de rendre maxi15 min
• La recherche du maximum relatif de l'intégrale / ' V dx15 min
• PROPRIETES DES SURFACES COURBES15 min
• IX15 min
• PLANS TANGENTS AUX SURFACES RÉGLÉES, GAUCHES15 min
• CONTACT DE DEUX SURFACES15 min
• NOMBRE DE RACINES D'CNE ÉQUATION COMPRISES DANS UN CONTOUR DONNÉ15 min
• SÉRIE DE LAGRANGE15 min
• H*) «KO , «/(0«KO15 min
• PROBLEME DE KEPLER15 min
• SÉRIE OE FOUR 1ER15 min
• TZ15 min
• FONCTIONS ELLIPTIQUES15 min
• DES INTÉGRALES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIRES15 min
• CAS OU LE THÉORÈME DE CÂUCHY TOMBE EH DÉFAUT15 min
• CALCUL DES RÉSIDUS15 min
• DES INTÉGRALES DÉFINIES15 min
• X-+-00 ^, dx% -,o15 min
• QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS15 min
• THÉORÈMES DE CÂUCHY ET DE LÂCHENT15 min
• REMARQUE CONCERNANT LES FONCTIONS PÉRIODIQUES15 min
• NOTIONS SUR LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES15 min
• DISCUSSION DE LA FONCTION15 min
• DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES15 min
• RÉDUCTION DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES A DES TYPES SIMPLES15 min
• DES TRANSCENDANTES DE LEGENDRE ET DE JACOBI15 min
• ÉTUDE DE L INTÉGRALE I15 min
• SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES15 min
• THÉORÈME DE M. H ERMITE15 min
• REMARQUES RELATIVES AUX PRODUITS INFINIS15 min
• SUR LES FONCTIONS AUXILIAIRES DE JACOBI15 min
• CONSIDÉRATIONS NOUVELLES SUR LES FONCTIONS AUXILIAIRES DE JACOBI15 min
• DES FOJNCTIOHS DU PREMIER ORDRE15 min
• DES FONCTIONS DU SECOND ORDRE15 min
• HOUVELLES DÉFINITIONS DES FONCTIONS 0. H 0 H15 min
• SUR UNE FORMULE DE CAUCDY. NOUVELLES EXPRESSIONS15 min
• IV IV15 min
• HT15 min
• ODO15 min
• I + «XL ^L15 min
• FORMULES D'ADDITION15 min
• DÔ15 min
• DES FONCTIONS ELLIPTIQUES15 min
• SUR LES PÉRIODES ÉLÉMENTAIRES15 min
• EN ÉLÉMENTS SIMPLES15 min
• ÉTUDE DE L'INTÉGRALE ELLIPTIQUE DE TROISIÈME ESPECE15 min
• sn m[x — a ) = sn//i ( K/ \l — 1 — a15 min
• APPLICATION A L'ADDITION DES FONCTIOKS DE TROISIÈME ESPÈCE15 min
• HK15 min
• V.lt X? 7 • //ITT15 min
• SUR LE PTIOBLEME DE LA TRANSFORMATION15 min
• TRANSFORMATION DU DEUXIÈME DEGRÉ15 min
• kx sin ^ 4- sin ( 2 ? — ^ ) ou bien15 min
• SUR LES APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES15 min
• REMARQUE15 min
• RÉSUMÉ DES PRINCIPALES FORMULES ELLIPTIQUES15 min
• FONDAMENTALES15 min
• SUR L'AUDITION DES INTÉGRALES DE PREMIÈRE ESPECE15 min
• THÉORÈME DE PONCELET15 min
• MP15 min
• V COS2Ô -+- V^COS82Ô — C0S15 min
• AIRES DE QUELQUES COURBES15 min
• POINTS DOUBLES15 min
• POINTS DOUBLES15 min
• B' — AC R15 min
• / AB15 min
• MOUVEMENT DU PENDULE CONIQUE15 min
• THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES15 min
• QUESTIONS TIRÉES DU RECUEIL DE M. TISSERAND15 min
• Ou bien aillent toutes passer par un point donné15 min
• Trouver les courbes égales à leurs développées15 min
• Calculer l'intégrale15 min
• Étant donnée l'équation15 min
• Éliminer a entre les deux équations15 min
• Intégrer l'équation aux dérivées partielles15 min
• Éliminer le paramètre a de l'équation15 min
• Lignes asymptotiques de la surface zx* — ay15 min

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