PREMIÈRE PARTIE

Les éléments des Malhémaliques présentent deux divisions bien tranchées : d'une part, l'Arithmétique et l'Algèbre; de l'autre, la Géométrie. Rien de plus différent, à leur début, que les considérations et les méthodes propres à ces deux parties d'une même science, et, bien qu'associées dans la Géométrie analytique, elles restent essentiellement distinctes si loin qu'on les poursuive, et paraissent se rapporter à des aptitudes et à des tendances intellectuelles spéciales. Ce double point de vue de l'Algèbre et de la Géométrie se retrouve dans le Calcul différentiel et le Calcul intégral; on peut dire en effet, de ces nouvelles branches de Mathématiques qu'elles sont comme une Algèbre plus vaste et plus féconde, appliquées à des questions de Géométrie inaccessibles au Calcul élémentaire, telles que la quadrature des courbes, la détermination des volumes limités par des surfaces quelconques, la rectification des courbes planes ou gauches, etc.

Cet aperçu ne justifie point au premier abord la dénomina-

lion, souvent employée, de Calcul infinitésimal, qui semble annoncer une élude el une science de l'infini, résullanl d'un rôle plus éiendu de celte noiion que dans les éléments. En réalité, le rôle de l'infini, dans ces régions élevées des Mathématiques, est en entier résumé dans un petit nombre de propositions du caractère le plus simple, et telles qu'on pourrait les énoncer et les démontrer dès le commencement de la Géométrie. C'est l'application répétée de ces mêmes propositions qui constitue ce qu'on nomme la méthode infinitésimale, méthode qui sera bientôt exposée, et dont il sera donné dans ce Cours de nombreux exemples. Mais, dès à présent, nous devons dire qu'en se montrant de plus en plus féconde la notion de l'infini reste toujours simplement la noiion d'une grandeur supérieure à toute grandeur donnée, et que les conditions de son emploi restent toujours celles des éléments de la Géométrie. Autant que peut le donner un premier aperçu, l'objet de ces leçons est donc une continuation de l'Algèbre, en y joignant quelques principes très-élémentaires sur l'infini, qui conduisent à résoudre par le calcul les questions de Géométrie dont il a été parlé précédemment. Avant d'entrer en matière, il est donc naturel de jeter un coup d'oeil sur l'Algèbre, afin de ne laisser aucune solution de continuité entre ce cours et l'enseignement qui l'a précédé.

Je rappellerai d'abord qu'on a commencé par étendre aux quantités liitérales les opérations ordinaires de l'Arithmétique, addition, soustraction, multiplication et division. On traite ensuite de la résolution des équations et systèmes d'équations du premier degré, el l'on aborde enfin les équations de degré quelconque. Or, à propos de la division algébrique, apparaît déjà la considération toute spéciale des polynômes ordonnés par rapport aux puissances d'une variable, dont l'élude, plus approfondie, constitue précisémenlce qu'on nomme la théorie générale des équations. Les éléments d'Algèbre ont donc pour principal objet les propriétés des fonctions rationnelles et entières d'une variable, et ils conduisent ainsi à VJnalyse, c'est-à-dire à l'étude générale des fonctions. Ce qui concerne la résolution des équations du premier degré à plusieurs inconnues se rattache d'ailleurs au même point de

INTRODUCTIOX.

vue, car alors on ne fait au fond qu'établir certaines propriélés d'un système de fonctions linéaires de plusieurs variables. Mais ici il importe de rendre parfaitement clair ce qu'on entend dire par étude générale des fonctions.

Il a été question tout à l'heure de polynômes; or les éléments conduisent encore à d'autres expressions qu'on nomme transcendantes, par exemple l'exponentielle et le logarithme, et en second lieu le sinus, le cosinus, la tangente d'un arc. Les premières sont étudiées en Algèbre même, et les autres sont le sujet de la Trigonométrie, qui n'est visiblement qu'un chapitre spécial d'Algèbre, donnant, parmi bien d'autres conséquences, la résolution numérique des triangles. Maintenant on peut poser cetie question : N'existe-t-il de fonctions que celles dont nous venons de parler et leurs combinaisons? Si la réponse était affirmative, l'Analyse laisserait apercevoir ses bornes, son champ serait fini et limité; mais il est bien loin d'en être ainsi, le Calcul différentiel et le Calcul intégral étendent indéfiniment leur domaine en fournissant l'origine et posant la base de l'étude d'un nombre infini de fonctions nouvelles. Ainsi l'on comprend queLagrange ait donné à l'un de ses Ouvrages, qui est précisément consacré à une exposition des principes du Calcul différentiel et du Calcul intégral, le titre de Leçons sur le Calcul des fonctions. En suivant la pensée de ce grand géomètre, nous allons présenter sur les fonctions connues par les éléments quelques considérations qui serviront d'introduction à ce Cours, et dont il sera souvent fait usage par la suite.

Les fonctions se divisent en deux catégories, suivant qu'elles sont algébriques ou transcendantes, et voici d'abord la définition des premières. Une quantité y sera dite, dans le sens le plus général, fonction algébrique de x, quand elle satisfera à

une équation

dont le premier membre est un polynôme rationnel et entier par rapport à l'inconnue j et à la variable indépendante x. Les fonctions transcendantes sont toutes celles qui ne peuvent vérifier la condition précédente, comme log^r, sin^, cosx,

l" Partie. \ *

et une infinité d'autres. Nous allons d'abord nous occuper des premières. Lorsque l'équation ci-dessus F(^, j)=^ o est du premier degré, elle donne pour y\e quotient de deux polynômes : c'est le cas des fonctions rationnelles; ou simplement un polynôme : c'est le cas des fonctions entières, dont les propriétés sont le principal objet des éléments de l'Algèbre. A l'égard des fonctions rationnelles, le fait le plus important, et qui joue dans l'Analyse un grand rôle, consiste en ce qu'elles sont

décomposables en une somme de termes de la forme . , „, »

qu'on nomme fractions simples. Nous allons le rappeler succinctement, pour en indiquer ensuite quelques conséquences.

Fonctions rationnelles.

I. Soient ¥{x) et F,(^) deux polynômes entiers de degrés quelconques et sans facteurs linéaires communs. En posant

¥{x) = {x-aY{x-b)K..{a:-iy-,

de sorte que les exposants a, (3,..., 1 soient respectivement les degrés de multiplicité des facteurs x — a, x — b,..., x — l,

la formule de décomposition de la fonction /( a; )= -^ — !- consiste dans celle égalité

X — a {x — af ■'■ {x — a)' B B, B. ,

x — b[x — bY {x — bf

'^ x — l'^ {x-lf'^'"^ {x-lf'

où P est la partie entière du quotient de F,(.r) par F(^), ce qui donne une détermination immédiate et directe de ce polynôme. Pour obtenir les numérateurs des fractions simples, écrivons la fonction proposée de cette manière, savoir :

X — a [x — aY '' (x — «)" f[^]

~ étant formé de la réunion de la partie avec toutes les fractions qui ne contiennent pas x — a en dé-

le terme ^'; , étant formé de la réunion de la partie entière P

nominaleiir. Il s'ensuit que ce binôme n'entre pas en facteur dans 9( jt), de sorte qu'en posant x =: a + h, ce qui donnera

le terme indépendant de h dans l'expression

sera différent de zéro. En divisant <p,(rt + /t) par (p(a -+-//), après avoir ordonné les deux polynômes suivant les puissances croissantes de h, le quotient obtenu d'après les règles de l'Algèbre ne contiendra donc que des puissances positives de cette quantité. Ainsi les termes

représenteront précisément la portion du développement de f[a-\-h), qui contient les puissances négatives de h.

Soit, par exemple, la fonction — ^ dont la décompo-

sition en fractions simples sera utilisée dans le Calcul intégral,

et écrivons

ar -H I [X -\-\Y ' ' [X En posant d'abord j: := i + /t, d'où

on voit que le développement à effectuer dépend de la formule du binôme, dans le cas de l'exposant négniif. Or nous parviendrons bientôt à cette extension si importante de la formule obtenue pour un exposant entier et positif, et qui permettra d'écrire la suite infinie

d'où

'/i« I 2«+'/i"-' 1.2 a'+Vi*-»

:{a + i) . . . (aa — a) i

et, par conséquent, ces valeurs

, a(a +i)...(2îe— 2) l ' i.2...(a — i) 2-"-

Quanl aux numcraleurs B, B,, . . . , ils se déduiront immédiatement des précédents par la relation