PREMIERS PRINCIPES DE LA THÉORIE DES LIMITES

4. Les anciens géomètres, partant de la dëtinition de Tégali telles quantités géométriques fondée sur la superposition, et de la notion de l'addition et de la soustraction de ces quantités , sont parvenus facilement «î la comparaison et à la mesure des polygones plans, des parallélipipèdes et des prismes quelconques. Mais quand ils voulurent comparer des figures planes terminées par des courbes, ou des solides terminés par des surfaces courbes , les mêmes procédés ne pouvaient plus réussir.

Ils eurent alors Tidéc assez naturelle, mais fondamentale, de considérer, au lieu des grandeurs elles-mêmes , d'autres grandeurs de Fespèce de celles c[u'ils savaient mesurer, et telles, qu'elles pussent différer des premières de quantités moindres que toute quantité désignée. Ils cherchaient ensuite la relation entre ces grandeurs voisines des proposées , etdont ils rendaient la comparaison aussi facile que la question le permeltail. Cette relation leur faisait aisément juger celle qui devait avoir lieu entre les grandeurs proposées 5 et ils démontraient celle dernière en prouvant, par la méthode pénible de la réduction à V absurde, que la véritable relation ne pouvait en différer.

Ainsi , pour trouver la relation entre les aires de deux cercles quelconques , Pluclide commence par démontrer (ju en inscrivant dans un cercle un polygone régulier, et

en doublant successivement le nombre des côtés , la dilTérence de Faire fixe du cercle et de Faire variable du polygone peut devenir moindre que toute surface donnée- Cela posé, il inscrit dans les deux cercles des polygones réguliers, et pour que la comparaison soit plus facile , il leur donne le même nombre de côtés : les aires sont alors dans le rapport des carrés des rayons des cercles. En doublant le nombre des côtés de ces polygones, et répétant cette opération indéfiniment, le rapport des aires restera le même, et les polygones pourront différer aussi peu que l'on voudra des cercles proposés 5 d'après quoi il est facile de prévoir que l'on trouvera ce même rapport pour les cercles eux-mêmes. Mais il se garde bien de tirer aussi promptement la conclusion •, elle aurait été l'objet de trop d'attaques, surtout de la part des sophistes qui niaient des choses beaucoup plus évidentes. Il prend le détour que nous avons signalé tout à Fheure, et emploie la méthode de réduction à Fabsurde. Il suppose que les deux cercles ne. soient pas comme les carrés de leurs rayons, et remarque qu'alors le carré du premier sera au carré du second, comme le premier cercle est à ju.n cercle plus grand ou plus petit que le se^ cond. Il examine successivement chacune de ces hypothèses, et démontre, en se fondant sur le lemme cité, qu'elles conduisent à des contradictions : d'où il conclut que ces hypothèses sont fausses, et que, par conséquent, le rapport des carrés des rayons est bien égal à celui des deux cerdeà. C'est en suivant une marche analogue qu'il ramène la comparaison des pyramides à celle des prismes, le volume du cône à celui du cylindre, etc. , etc.

Les modernes, en conservant tout ce qu'il y a de fondamental dans cette méthode. Font simplifiée sans diminuer sa rigueur. Nous allons faire connaître la méthode généralement employée aujourd'Bui , et nous conxmence-

rons par poser .quelques définitions et quelques principes généraux très -simples.

5. Limite d'une variable. — Lorsqu'une grandeur prend 'successivement des valeurs qui se rapprochent de plus en plus de celle d'une grandeur constante, de telle sorte que la différence avec cette dernière puisse devenir el rester moindre que toute grandeur désignée, soit que la variable soit toujours au-dessous, ou toujours au-dessus, ou tantôt au-dessous et tantôt au-dessus de la constante, on dit que la première approche indéfiniment de la seconde, et que celle-ci en est la limite.

Ainsi nous appelons limite d'une variable , une quantité constante dont la variable approche indéfiniment sans jamais V atteindre.

6. Infiniment petits. — On appelle quantité infiniment petite y ou simplement infiniment petit, toute grandeur variable dont là limite est zéro.

Par exemple, la diflërence d'une variable quelconque à sa limite sera dite infiniment petite, puisqu'elle tend vers zéro. Ainsi la différence de l'aire d'un cercle à celle du polygone régulier inscrit, dont on multiplie indéfiniment le nombre des côtés, est infiniment petite. Il en est de même de la différence d'un cylindre à un prisme inscrit, d'un cône à la pyramide inscj'ite, etc. , etc.

Nous citons ces cas particuliers pour indiquer quelques exemples-, mais les infiniment petits peuvent se présenter dans une foule de circonstances où ils ne sont pas la différence d'une variable à sa limite finie.

Principe fondamental des limites.

7. Si deux quantités variables sont constamment égales et tendent chacune vers une limite, des deux li-

10 LIVBE I.

mites sont nécessairement égales. — En cÛbt, deux grandeurs toujours égales ne préseutcnt qu'une seule valeur, et il semble inutile de démontrer qu'une valeur variable ne peut pas tendre à la fois vers deux limites inégales, c'est-à-dire vers deux grandeurs constantes, différentes l'une de Tautre.

Il est, au reste, bien facile d'ajouter quelques développements qui rendent plus claire encore, s'il est possible, cette importante proposition. Supposons, en effet, que deux variables toujours égales aient des limites différentes A et B, A étant, par exemple, la plus grande, et surpassant B d'une quantité déterminée A. La première variable ayant A pour limite, finira par rester constamment comprise entre deux valeurs , l'une plus grande, l'autre plus petite que A , et ayant avec A une différence aussi petite qu'on voudra -, bornons-nous à supposer cette

différence moindre que -A. Semblablement la seconde variable finira par rester indéfiniment à une distance de B moindre que - A. Or il est évident qu'alors les deux variables ne pourraient plus être égales-, ce qui doit être cependant, d'après les données de la question. Ces données sont donc incompatibles avec l'existence d'une différence quelconque entre les limites des variables. Donc ces limites sont ésales.

8. Limites des sommes^ produits ^ quotients ou puis^ sances quelconques de variables. — i**. La limite de la somme de variables a:, j, r,..., li en nombre fini quelconque, qui ont respectivement pour limites des quantités a, i, c,..., / positives ou négatives, est la somme algébrique de ces limites. En effet, les variables x, j ,..., m peuvent être représentées respectivenieni par a H- a ,

DES QUANTITES CONSIDÉBÉES COMME LIMITES. I I

i-f-o,..., /-f-i, les diflfércnces a, 6,.--î ^ ayant toutes pour limite zéro. Oii aura donc

Or « + 6-+- ... -h X tend vers la limite zéro, puisqu'il en est ainsi de chacun des termes, en nombre fini , qui composent cette quantité. Donc la limite du second membre, et par conséquent du premier qui lui est toujours égal , est fl -h i -h c . . . -t- / ; ce qu'il fallait démontrer.

2®. La limite du produit de plusieurs variables est le produit de leurs limites. En effet, en employant les mêmes dénominations que dans le cas précédent, on aura

x)'z,..u= (a -f. a) (^ 4- 6) (c 4- y )...(/ 4- X) z= abc, , .1 -^ o^,

Cl) désignant la somme d'un nombre fini de ternies ayant chacun zéro pour limite, puisqu'ils renferment comme fadeurs au moins une des quantités a,D, y,...,^, qui ont toutes zéro pour limite. On voit donc que le second membre, ou le premier xyz ... m , a pour limite abc . . . / j «omme il fallait le démontrer.

Dans le cas particulier où le produit -^yz» . ;W serait invariable, sa valeur ne pourrait différer de abc,.,l^ carw devrait être constante; et comme on a prouvé qu'il pouvait être moindre que toute grandeur donnée, il ne peut être autre que zéro.

Si, par exemple, on a x^= i, il en résultera ab=zi^ Ainsi deux variables dont les valeurs sont toujours réciproques Tune de l'autre, ont des limites réciproques. Celte remarque est d'une application fréquente.

3**. La limite du quotient de deux variables est le quotient de leurs limites, quand la limite du diviseur n'est pas zéro,

En effet ,

x a -h oc. a ha. — <î6

Or le dénominateur de la dernière fraction finit par être aussi près qu'on voudra de fc', qui est un nombre déterminé différent de zéro 5 son numérateur tend vers zéro :

donc cette fraction a zéro pour limite. La limite de - est

donc -79 comme nous l'avions annoncé.

On voit que le seul cas à excepter est celui où l'on a

Si - était constant, il ne pourrait être que t5 car

il faudrait que la fraction -r-jr — ii fût aussi constante: et

comme nous avons prouvé qu'elle pouvait différer de zéro aussi peu qu'on voudra , il faut qu'elle soit zéro même.

4^. La limite d'une puissance déterminée d'une variable est égale à la limite de cette variable, élevée à cette même puissance. Si le degré m de la puissance est entier, .r"* est le produit de m facteur^ égaux k x^ et, d'après le premier cas, la limite de x"" sera «'".

Soit maintenant m =: - 9 n et a étant deux entiers q ' '

quelconques; r^ est la puissance p de ,r^ : donc, d'après

le cas précédent, la limite de x^ est la puissance p de la

limite de x^ ou de y/x \ reste donc h trouver cette dernière. Mais X, étant le produit de q facteurs égaux à y^x, doit avoir pour limite la puissance q de la limite de y'.r, et comme x a pour limite a, il en résulte que a est la puissance q de la limite de sjx^ ou que Vx a pour limite

DES QUANTITES CONSIDÉEÉKS COMME LIMITES. l3

l'a. Donc x^ a pour limite a^ , comme nous l'avions annonce.

Ces principes suffisent pour presque toutes les questions que les éléments peuvent présenter. Nous leur donnerons plus tard une plus grande généralité; mais nous commencerons par faire connaître en quoi consiste la méthode dont ils sont la base , et que nous éclaircirons par des applications variées , propres à en faire bien comprendre l'esprit.

Méthode des limites.

9. Quand on veut trouver une relation en tre des grandeurs qui ne se prêtent pas facilement aux comparaisons , on les considère comme limites de grandeurs d'une espèce plus simple, et Ton profite de T indétermination que cette condition laisse subsister, pour choisir ces variables de manière à faciliter la recherche d'une relation entre elles. Si l'on y peut parvenir, le problème est résolu. En effet, cette relation est réductible à une équation dont les deux membres sont en général des variables constamment égales, dont les limites sont par conséquent égales. Mais chacun de ces membres est composé de termes dans lesquels il n'y a , en général , que des multiplications , des divisions des puissances quelconques des variables introduites. Or, d'après les principes précédents , on aura la limite de chaque terme en y remplaçant les variables par leurs limites , et la limite de chaque membre sera la somme des limites de ses différents termes. D'où l'on voit que, quand on a trouvé la relation entre les variables, on a immédiatement la relation entre les quantités proposées qui en sont les limites, en remplaçant toutes les variables par leurs limites respectives.

l^. LIVRE I.

10. Cest en cela que consiste la mélliode des limites. Elle simpliGe la question en ce qu elle ramène à la recherche d'une relation entre des quantités plus simples, dont le choix est très- indéterminé, et qui ne sont assujetties qu'à tendre indéfiniment \ers les quantités proposées, sans jamais se confondre avec elles. Cette relation étant trouvée, il suffit de remplacer toutes les variables par leurs limites pour avoir la relation cherchée.

11 peut arriver que la substitution pure et simple des limites aux variables conduise à des formes indéterminées, comme , par exemple , dans le cas où l'on aura des fractions dont les deux termes auront zéro pour limite^ La

substitution donnerait alors -9 expression qui n'est l'indication d'aucune véritable opération. On pourrait encore obtenir d'autres expressions sans signification 5 dans tous ces cas il faudrait recourir à des règles qui seront exposées plus tard.

Il est inutile de dire que, pour la commodité des calculs, il peut être utile d'introduire de nouvelles variables dépendantes des premières. Ainsi , déjà nous avons représenté les variables ol\j^ z, etc., par a-h«, i-f-S, c -f- 7, etc. 5 a, ê, y étaient alors de nouvelles variables tendant vers zéro, en même temps quex, y, z tendaient vers a, J, c. Si, dans le courant du calcul, on voulait tout réduire aux variables a:, j^, z, etc., il suffirait de remplacer a , 6 , y, etc. , par x — a^ y — i, z — c, etc.

Il peut arriver que les deux membres de l'égalité, quoique composés de quantités variables, restent constants 5 on aura toujours la relation entre les quantités proposées, en remplaçant les variables par leurs limites. On remarquera seulement que cette substitution , au lieu de donner les limites des deux membres, donne leur valeur constante. Au reste, on aurait facilement deux membres va-

DES QUANTITES CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. l5

riables, en faisant passer l'un des termes variables d'un membre dans Tautre, ou encore en multipliant par un dénominateur variable; mais ce serait une transformalion inutile, et que, par conséquent, il ne faut jamais

faire.

Application aux cas simples que présente la géométrie élémentaire,

H. i*'. Trousser le rapport des surfaces de deux cercles, — Soient R, R' les rayons de ces cercles; S, S' leurs surfaces. On -démontrera d'abord, comme Eu ^ clide, que ces surfaces peuvent être considérées comme les limites de celles de polygones réguliers inscrits , dont on doublerait indéfiniment le nombre des côtés. On pourrait bien prendre des polygones non reguliers, mais il y aurait plus de difficulté, sans aucun avantage; ou bien encore ne pas s'assujettir à donner le même nombre de côtés aux polygones inscrits dans les deux cercles, mais leur comparaison serait beaucoup plus difficile, et il n'y aurait encore aucun avantage.

Ainsi d'abord nous regarderons les surfaces des deux cercles comme limites de deux polygones réguliers semblables, dont le nombre des côtés augmente i^idéfiniment.

Or on sait que deux polygones réguliers semblables sont entre eux comme les carrés des rayons des cercles circonscrits. Si donc on désigne par P, Pies aires des polygones variables inscrits dans les deux cercles, on aura constamment la proportion

Ayant ainsi une relation entre les variables, il suflSra

l6 LIVRE I.

(le les remplacer par leurs limîles, pour obtenir celle qui a lieu entre ces dernières -, d'où résulte

et , par conséquent , les surfaces de deux cercles quelconques sont comme les carrés de leurs rayons.

Le cas que nous venons de traiter est celui où les deux membres de Fégalité sont constants. On les aurait eu variables, si l'on avait chassé les dénominateurs, et la relation aurait été