RÉFLKXIONS AU SUJET DE QUELQUES DÉFINITIONS

De V infini.

12. Le mot infini est employé pour exprimer F absence de limite , de borne quelconque : c'est ainsi que l'espace et le temps sont dits infinis. Cette idée exclut évidemment celle de toute comparaison sous le rapport de la grandeur. Néanmoins , pour abréger le discours , on parle souvent de quantités infinies, on les soumet aux mêmes opérations que les quantités finies , et il est très-important de ne pas se méprendre sur la manière dont ce langage doit être entendu.

Ces quantités dites infinies ne peuvent se présenter que de deux manières : ou comme solutions , ou comme données d'une question.

L'infini peut se présenter comme solution lorsque, pour déterminer certaines quantités, on les regarde com^le dépendantes d'une autre-, et que dans le cas particulier que l'on a en vue, cette dernière n'existe plus, tandis que pour des cas très-voisins elle aurait des valeurs qui pourraient dépasser toute grandeur assignée. Ainsi , par exemple, pour déterminer un angle, on peut, en général , prendre pour inconnue sa tangente trigonométrique^ mais il faut excepter le cas particulier de l'angle droit. Les équations qui donneront la valeur de cette tangente devront conduire à une expression qui croîtra

indéfiniment, à mesure que les données se rapprocUeront \ de celles qui conduiraient pour solution à Fangle droit. Dans ce dernier cas , l'expression ne doit plus rien représenter, et apprendra par cela même que la question se rapporte à ce cas parliculfer. La forme qu'elle prendra le plus ordinairement sera celle d'un nombre fini, dl- ' visé par zéro. On dit alors que la valeur de l'inconnue est infinie, et que l'angle correspondant est droit; de sorte que la question proposée est possible, et sa solution est déterminée. Mais si la quantité dont la valeur générale se présente dans un cas particulier sous la forme illusoire d'un nombre divisé par zéro, n'est pas une inconnue auxiliaire, mais bien celle que Ton voulait déterminer, il est clair que la question proposée était absurde.

I 13. L'infini peut encore se présenter autrement que

I comme solution d'équations dans des cas particuliers-, il

peut se trouver dans les données mêmes de la question. On peut se proposer de trouver la limite du rapport, de la différence, ou de toute autre fonction de quantités dépendantes les unes des autres , et croissant sans limites. Dans ces divers cas, on dit quelquefois que cette limite est le rapport, ou la différence, ou la fonction quelconque de ces quantités infinies; mais il n'y aurait aucun sens à attribuer à la comparaison des deux infinis, puisque, comme je l'ai déjà dit, l'infini ne signifie pas une grandeur, mais l'absence de limites : ainsi , si l'on mène dans un plan des parallèles équidistantes, il est absurde de dire que les espaces infinis renfermés entre les parallèles consécutives sont égaux. Mais si l'on cherche les rapports de ces espaces croissant indéfiniment, on peut bien se demander quelles sont leurs limites, et l'on

trouve alors un résullat complètement indéterminé; car on peut faire croître îndéGniment les longueurs de deux: de ces 'bandes en établissant entre elles une relation arbitraire; et Ton ne trouverait le rapport de ces bandes infinies égal à Tunité que d-ans des cas très - particuliers.

Ce même langage vicieux est souvent employé quand on veut désigner les limites vers lesquelles tendent des grandeurs variables , lorsque certaines autres grandeurs , dont elles dépendent, croissent sans limite. Ainsi, par exemple, le cercle est la limite vers laquelle tend un polygone régulier inscrit , dont le nombre de côtés croit indéfiniment ; et, pour exprimer cette propriété , on dit quelquefois que le cercle est un polygone régidier d'une infinité de côtés. On dit encore qu'une droite eu rencontre une autre à l'infini, au lieu de dire qu'elle est la limite d'une droite qui rencontre l'autre à une distance qui augmente sans limite.

Toutes ces manières de s'exprimer ont des inconvénients pour ceux dont les idées ne sont pas encore bien faites, et nous ne les emploierons jamais.

Des nombres incommensurables,

14. Lorsque nous avons donne la définition, non pas des rapports incommensurables, mais de l'égalité de rapports de quantités incommensurables entre elles, nous avons fait remarquer que ce n'était que par une extension donnée au mot nombre que l'on pouvait dire que ces quantités ont un rapport qui est un nombre. Il u'y avait donc pas lieu de dire qu^on pouvait approcher indéfiniment du rapport de deux quantités incommensurables , au moyen de rapports commensurables, ni,

par suite, de regarder les nombres incommensurables eomme limites des nombres commensurables et d'y appliquer les principes relatifs aux limites.

Mais , après avoir fait l'extension du sens du mot nombre, et avoir défini avec précision l'égalité et l'inégalité des nombres incommensurables, il est bon de remarquer que le rapport de deux quantités incommensurables est la limite de nombres commensurables variables. En effet, nous avons vu qu'on pouvait approcher indéfiniment de la première quantité, au moyen de quantités commensurables avec la seconde, plus grandes ou plus petites que la première, et différant entre elles d'une subdivision de la seconde. I^es rapports de ces variables à cette seconde sont commensurables et croissent avec les variables. De plus , pour avoir le rapport incommensurable lui-même, il faudrait, d'après la définition de la somme des nombres, ajouter au rapport variable celui du reste, moindre qu'une subdivision de la seconde quantité, à cette quantité constante tendant vers zéro. Ce dernier rapport, inférieur à celui d'une subdivision qui peut devenir moindre que toute quantité donnée, tend donc indéfiniment vers zéro. Donc, d'après le sens étendu donné à toutes les expressions, les nombres incommensurables sont limites de nombres commensurables, et tous les principes des limites y sont applicables.

15. On peut arriver à l'idée des nombres incommensurables, autrement qu'en comparant deux grandeurs qui n'ont pas de commune mesure , et par des considérations purement arithmétiques, comme, par exemple, relies des racines, des logarithmes, etc. Dans ces cas on trouve des nombres commensurables qui satisfont k des conditions

de plus en plus voisines des proposées , et qui , en prenant une unité de nature quelconque, représenteraient des quantités concrète^ tendant vers des limites déterminées. On convient alors de dire que ces limites incommensurables avec l'unité , ont avec elle des rapports que l'on appellera nombres incommensurables et qui seront dits satisfaire aux conditions ou équations proposées.

Arrivant ainsi à la considération du rapport de deux grandeurs qui n'ont pas de commune mesure, 'on ajouterait les différents développements que nous avons donnés précédemment.

De Véquii^alence,

16. La notion de l'équivalence parait si naturelle et si simple, que les géomètres ont rarement senti la nécessité de la définir. Euclide ne fait aucune différence entre l'équivalence et l'égalité, il se sert du même mot pour désigner l'une et l'autre 5 il dit égaux deux triangles de même base et de même hauteur. Mais aujourd'hui que l'égalité en géométrie se définit exclusivement par la coïncidence, il n'est plus permis de dire égales des figures qui ne peuvent coïncider 5 et lorsqu'on les appelle équivalentes, il faut dire sans équivoque ce qu'on entend par là , et qu'il n'y ait pas plijs d'obscurité dans l'équivalence d'un cercle avec un carré que dans l'égalité de deux triangles.

Quelques auteurs, voulant fs^îre la distinction des deux égalités, ont appelé la seconde égalité en surface, mais ils n'ont donné aucun caractère précis pour la rc connaître. Ils l'ont admise pour les figures résultant de la réunion ou de la soustraction de figures égales, pu pour

les mêmes parties alîquotes d'une même 6gure conduisant à des figures non super posables. Ainsi , par exemple, on peut partager un parallélogramme en deux parties égales d'une infinité de manières, puisqu'il suffit de le couper par une ligne passant par le point de rencontre de ses diagonales. Toutes ces moitiés , de formes si diverses, sont dites équivalentes. Mais tous ces cas simples seraient insuffisants , et d'ailleurs auraient besoin d'êlrc ramenés à un caractère commun qui servirait alors- de défînilion à l'équivalence. Autrement, on pécherait contre le principe général que nous avons énoncé au commencement de cet ouvrage, et qui consiste en ce que l'application des nombres à l'étude des grandeurs de toute espèce exige préalablement une définition précise de l'égalité, c'est-à-dire des conditions sous lesquelles le rapport de deux grandeurs sera dit égal à l'unité.

Cela posé, nous dirons que deux quantités géométriques sont équivalentes , lorsqu'elles seront composées de parties égales ou seront limites de quantités va- Viables composées de parties respecli\^ement égales,

17. On peut remarquer que si l'on conçoit les parties correspondantes de ces quantités évaluées par rapport à une même unité, on trouvera de part et d'autre les mêmes nombres et les mêmes sommes de nombres, de sorte que les quantités équivalentes seront exprimées par les mêmes nombres ou par les limites de nombres égaux. Mais cette propriété ne doit pas être choisie pour servir de définition 5 elle est immédiatement fondée sur la précédente, d'après le sens que nous avons attaché à l'égalité et à l'addition des nombres.

Les quantités équivalentes étant exprimées par des

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nombres égaux , toutes les opérations de soustraction , de division, etc., faites sur des quantités équivalentes donneront les quantités exprimées par des nombres égaux, et , par conséquent , équivalentes. Par exemple, de quelque manière qu'on partage un parallélogramme en deux parties égales , toutes ces figures non superposables seront équivalentes.

DES QUANTITÉS CONSIDÉEEES GOMMK LIMITES. 25