TOM. 1. A

^ c 0 u R s d'à n a l ys e.

nombres dans le sens où on l'emploie en arithmétique , en faisant naître les nombres de la mesure absolue des grandeurs; et nous appliquerons uniquement la dénomination de quantités aux quantités 7'éelles positives ou négatives, c'est-à-dire, aux nombres précédés des signes -h ou — . De plus, nous regarderons les quantités comme destinées à exprimer des accroissemens ou des diminutions ; en sorte qu'une grandeur donnée sera simplement représentée par un nombre, si l'on se contente de ia comparer à une autre grandeur de même espèce prise pour unité, et par ce nombre précédé du signe -h- ou du signe — , si on la considère comme devant servir à l'accroissement ou à la diminution d'une grandeur fixe de la même espèce. Cela posé , le signe -+- ou — placé devant un nombre en modifiera la signification , à-peu-près comme un adjectif modifie celle du substantif. Nous appellerons valeur numérique d'une quantité le nombre qui en fait la base, quantités égales celles qui ont le même signe avec la même valeur numérique , et quantités opposées deux quantités- égales quant à leurs valeurs numériques , mais affectées de signes contraires. En partant de ces principes, il est facile de rendre compte des diverses opérations que l'on peut faire subir aux quantités. Par exemple , deux quantités étant données, on pourra toujours en trouver une troisième qui, prise pour accroissement d'un nombre fixe, si elle est positive, et pour diminution dans le cas contraire, conduise au même

résultat que les deux quantités données, employées i'uue après l'autre à pareil usage. Cette troisième quantité, qui à elle seule produit le même efïet que les deux autres , est ce qu'on appelle leur ^lomme. Ainsi les deux quantités— lo et -t- y ont pour somme — 3 , attendu qu'une diminution de i o unités, jointe à une augmentation de y unités, équivaut à une diminution de 3 unités. Ajouter deux quantités, c'est former leur somme. La diiTércnce entre une première quantité et une seconde , c'est une troisième quantité qui, ajoutée à ia seconde, reproduit la première. Enlin, on dit qu'une quantité est plus grande ou plus petite qu'une autre , suivant que la différence de la première à la seconde est positive ou négative. D'après cette définition, les quantités positives surpassent toujours les quantités négatives , et celles-ci doivent être considérées comme d'autant plus petites que leurs valeurs numériques sont plus grandes.

En algèbre , oji représente non - seulement les nombres, mais aussi les quantités, par des lettres. Comme on est convenu de ranger les Jiombrcs absolus dans la classe des quantiîé's positives, on peut désigner la quantité positive qui a pour valeur numérique le nombre A, soit par-+-y/, soit par A seulement, tandis que la quantité négative opposée se trouve représentée par— .1 De même, dans le «as où la lettre a représente une quantité , on est convenu de regarder comme synonymes les deux expressions « et ^-t/, et de représenter par - «

la quantité opposée k -h-a. Ces remarques sufTisent pour établir ce qu'on appelle la règle des signes [voyez la note I/^].

On nonuîie quantité variable celle que l'on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres. On désigne une semblable quantité par une lettre prise ordinairement parmi les dernières de l'alphabet. On appelle au contraire quantité constante^ et on désigne ordinairement par une des premières lettres de l'alphabet toute quantité qui reçoit une valeur fixe et déterminée. Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe , de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra , cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. Ainsi , par exemple , un nombre irrationnel est la limite des diverses fractions qui en fournissent des valeurs de plus en plus approchées. En géométrie , ja surface du cercle est la limite vers laquelle convergent les surlaces des polygones inscrits, tandis que le nombre de leurs côtés croît de plus en plus ; &c. ...

Lorsque les valeurs numériques successives d'une même variable décroissent indéfiniment, de manière à s'abaisser au-dessous de tout nombre donné, cette variable devient ce qu'on nomme un infiniment petit ou une quantité infiniment petite. Une variable de cette espèce a zéro pour limite.

Lorsque les valeurs numériques successives

PRÉLIMIXAIRE&. 5

d'une même variable croissent de plus en plus , de manière à s'élever au-dessus de tout nombre donné y on dit que cette variable a pour limite X infini positif ^ indiqué par le signe co , s'il s'agit d'une variable positive , et \ infini négatifs indiqué par la notation — oo , s'il s'agit d'une variable négative. Les infinis positif et négatif sont désignés conjointement sous le nom de quantités infiinies.

Les quantités qui se présentent, dans le calcul, comme résultats d'opérations faites sur une ou plusieurs autres quantités constantes ou variables , peuvent être divisées en plusieurs espèces suivant la nature des opérations qui les produisent. C'est ainsi que l'on distingue en algèbre les sommes et différences, les produits et quotiens, les puissances et racines, les exponentielles et les logarithmes; en trigonométrie, les sinus et cosinus, sécantes et cosécantes, tangentes et cotangentes, et les arcs de cercle dont une ligne trigonométrique est donnée. Pour bien comj)rendre ce qui est relatif à ces dernières espèces de quantités, il est nécessaire de se rappeler les principes suivans.

Une longueur, comptée siu' une ligne droite ou courbe, peut être, comme toute espèce de grandeurs, représentée soit par un nombre ,. soit par une quantité, savoir: par un nombre, lorsqu'on a simplement égard à la mesure de cette longueur, et par une quantité, c'est-à-dire, par un nombre précédé du signe -H ou — , lorsque l'on considère la longueur dont il s'agit comme portée , à partir d'un point fixe,

(j COURS d'analyse.

sur la ligne donnée dans un sens ou dans un autre, pour servir soit à l'augmentation soit à la diminution d'une autre longueur constante aboutissant à ce point fixe. Le point fixe dont il est ici question , et à partir duquel on doit porter les longueurs variables désignées par des quantités, est ce qu'on appelle Xoi'ig'ine de ces mêmes longueurs. Deux longueurs comptées à partir d'une origine commune , mais en sens contraires , doivent être représentées par des quantités de signes difFérens. On peut choisir à volonté le sens dans lequel on doit compter les longueurs désignées par des quantités positives ; mais, ce choix une fois fait, il faudra nécessairement compter dans le sens opposé les longueurs qui seront désignées par des quantités négatives.

Dans un cercle dont le plan est supposé vertical , on prend ordinairement pour origine des arcs l'extrémité du rayon tiré horizontalement de gauche à droite ; et c'est en s'élevant au-dessus de ce point que l'on compte les arcs positifs , c'est-à-dire , ceux que l'on désigne par des quantités positives. Dans le même cercle , lorsque le rayon se réduit à l'unité, le sinus d'un arc , c'çst-à-dire , la projection sur le diamètre vertical du rayon qui passe par l'extrémité de cet arc , se compte positivement de bas en haut et négativement en sens contraire, à partir du centre du cercle pris pour origine des sinus. La tangente se compte positivement dans le même sens que le sinus , mais à partir de l'origine des arcs et sur la verticale menée par cette origine. Enfin , la sécante

se compte à partir du centre sur le rayon mené à rextrémité de l'arc que l'on considère, et positivement dans le sens de ce rayon.

Souvent le résultat d'une opération effectuée sur une quantité peut avoir plusieurs valeurs différentes les unes des autres. Lorsque nous voudrons désigner indistinctement une quelconque de ces valeurs, nous nous servirons de notations dans lesquelles la quantité sera entourée de doubles traits ou de doubles parentbèses ; et nous réserverons la notation ordinaire pour la valeur la ]iUis simple ou celle qui paraîtra mériter davantage d'être remarquée. Ainsi, par exemple, a étant une quantité positive, la racine carrée de cette quantité aura deux valeurs numériquement égales , mais de signes contraires , dont l'une quelconque sera exprimée par la notation

{{ap ou ir'V/,

tandis que la valeur positive seule sera représentée

par

a^ ou -[/a ;

en sorte qu'on aura

ou, ce qui revient au. même, '

(2) {(ap =±: aK

De même encore, si l'on représente par a une quantité positive ou négative, la notation

arc sin, ((V/)) OU arc tang. ((/?))

désignera un quelconque des arcs qui ont la quan-

tité a pour sinus ou pour tangente, tandis que la

notation

arc sin. («) OU arc tang. (û?)

indiquera seulement celui de ces arcs qui a la plus petite valeur numérique. A l'aide de ces conventions, on évite la confusion que pourrait entraîner l'emploi de signes dont la valeur n'aurait pas été déterminée d'une manière assez précise. Afin de lever à cet égard toute difficulté , je vais présenter ici le tableau des notations dont nous ferons usage pour exprimer les résultats des opérations algébriques ou trigonométriques.

La somme de deux quantités sera indiquée à l'ordinaire par la juxtaposition de ces deux quantités , chacune d'elles étant exprimée par une lettre précédée du signe h- ou — , que l'on pourra supprimer (si c'est le signe -h) devant la première lettre seulement. Ainsi

-\-a-\-b ou simplement a-^b

désignera la somme des deux quantités -h «, -+-ô; et

.^a — h ou simplement a — b

désignera la somme des deux quantités -h or ^ —b, équivalente à la différence des deux quantités -h « » -\- b.

On indiquera l'égalité des deux quantités a et h par le signe = interposé entre elles, comme il suit,

et l'on exprimera que la première surpasse la seconde , c'est-à-dire , que la différence a-—b est positive, en écrivant

a> b ou b < a.

Nous représenterons encore à l'ordinaire par

-^a X -+-b , ou simplement a.b, ou ab

le produit des deux quantités -i-a^, -^b; et par

-,- ou a : a

leur quotient.

Soient maintenant m et n deux nombres entiers , A un nombre quelconque, et a^ b deux quantités quelconques positives ou négatives.

représenteront les quantités positives qu'on obtient en élevant le nombre A à des puissances respectivement marquées par ies exposans

m , —, rb — , b ; et

la quantité positive ou négative que produit l'élévation de la quantité ^ à la puissance zL m. Quant îiux notations

nous nous en servirons pour exprimer non-seulement ics valeurs positives ou négatives , lorsqu'il en existe, des puissances de la quantité a marquées par

le

s exposans

mais encore les valeurs imaginaires de ces mêmes puissances [voyez ci -après, chap. Vil, ce qu'on entend par expressions imaginaires^. Il est bon d'observer que, si l'on désigne par A la valeur numérique de a, et si l'on suppose la fraction — réduite à sa plus simple expression , la puissance

—— TTC- '^'^

aura une seule valeur réelle positive ou négative » savoir ,

■+- A " ou A'" y

lorsque — ■ sera une fraction de dénominateur impair;

tandis qu'elle admettra les deux valeurs réelles dont on vient de parier , ou qu'elle n'en admettra aucune ,

si -- est une fraction de dénominateur pair. On peut faire une semblable remarque à l'égard de l'expression

Dans le cas particulier où, la quantité a étant positive , on suppose ^ = -^ , l'expression ((a)) " n'a

que deux valeurs réelles l'une et l'autre, et données par la formule ( 2 ) , ou , ce qui revient au même , par la formule ( i ).

Les notations

indiqueront les logarithmes réels du nombre B dans difFérens systèmes ; tandis que chacune des suivantes

/((^)), L((/^)), L'CT), &c....

pourra servir à désigner, outre le logarithme réel de la quantité b , lorsqu'il existe, \\i\ quelconque des logarithmes ima2;inaires de cette même quantité [voy. ci-après, chap. IX, ce qu'on entend par logarithmes imaginaires ].

En trigonométrie ,

sin. a , COS. a, tang. a , cot. a, séc. a , cosec. a ,

siv. a , cosiv. a,

exprimeront respectivement le sinus , le cosinus , la tangente, la cotangente , la sécante, la cosécantc, le sinus verse ou le cosinus verse de l'arc a; et les notations

arc sin. ((«]i) , arc cos. ((«)), arc tang. ((«)j , arc cot. ((rty),

arc sec. ((ûr)), arc cosec. i^dfj ,

indiqueront un quelconque des arcs qui ont la quantité a pour sinus, ou cosinus, ou tangente, ou cotangente , ou sécante , ou cosécante. Nous nous servirons des notations simples

arc sin. [ci) , arc cos. (a) , are tang. Ul] , arc cot. (d) , arc sec. [ci^ , arc cose'c. [a) ,

OU même , en supprimant tout-à-fait les parenthèses, des notations suivantes

arc sin. a ^ arc cos. a, arc tang. a , arc cot. a, arc sec. (l , arc cose'c. rt,

lorsque, parmi les arcs dont une ligne trigonomctriqiic est égale à a, nous voudrons désigner celui qui a la plus petite valeur numérique , ou , si ces arcs sont deux à deux égaux et de signes contraires, celui qui a la plus petite valeur positive. En conséquence ,

arc sin. Cl. ^ arc tang. (l , arc cot. a , arc cose'c. d ,

indiqueront des arcs positifs ou négatifs , mais compris entre les limites

TT désignant la demi -circonférence dans le cercle qui a pour rayon l'unité ; tandis que

arc COS. Cl , arc sec. CL ,

indiqueront des arcs positifs compris entre les limites o et TT.

En vertu des conventions que Ton vient d'établir,, si l'on désigne par k un nombre entier arbitraire, on aura évidemment , pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la quantité a,

PRÉLIMIXAIRES. 13

;ln. [{a)) =^ ±(^— arc sin. « j dr 2 X: TT ,

arc COS. ((«)) =^ ± arc cos. « ± 2 X' TT , / y arc tang. ({«)) = arc tang. a dz.k'TT ,

arc su

arc cos. rt-4-arc sm. a =:: — arc cose'c. Cl -+- arc sec. €1 ^=z

On trouvera de plus, pour des valeurs positives de a,

(4) aî'c cot. rt -¥- arc tang. «=;= — ,

et, pour des valeurs négatives de a ,

(<j arc cot. a -H arc laiig. « = — — .

Lorsqu'une quantité variable converge vers une limite fixe, ii est souvent utile d'indiquer cette limite par une notation particulière ; c'est ce que nous ferons , en plaçant l'abréviation

lim.

devant la quantité variable dont il s'agit. Quelquefois, tandis qu'une ou plusieurs variables converj^ent vers des limites fixes , une expression qui renferme ces variables converge à- la -fois vers plusieurs limites différentes les unes des autres. Nous indiquerons alors une quelconque de ces dernières limites , à l'aide de doubles parenthèses placées à la suite de l'abréviation lim. , de manière à entourer l'expression que l'on considère. Supposons, pour fixer les idées, qu'une variable positive ou négative repré-

, ... z^râ , .

sentee par x converge vers la limite -p, et desf-

gnons par A un nombre constant : i! sera facile de

s'assurer que chacune des expressions

lim. ( /i'), Uni- (sin. .r)

a une valeur unique déterminée par l'équation

lim. (^*) = I ,

ou Jim. (siu. .r) =: o;

tandis que l'expression

admet deux valeurs , savoir , -h oo , — oo , et

//;//. ((sin. -^)) ',

une infinité de valeurs comprises entre les limites — I et H- I .

Nous allons terminer ces préliminaires en présentant , sur les quantités moyennes , plusieurs théorèmes dont la connaissance nous sera fort utile dans la suite de cet ouvrage. On appelle moijennc entre plusieurs quantités données une nouvelle quantité comprise entre la plus petite et la plus grande de celles que l'on considère. D'après cette définition , il est clair qu'il existe une infinité de moyennes entre plusieurs quantités inégales , et que la moyenne entre plusieurs quantités égales se confond avec chacune d'elles. Cela posé, on établira facilement, ainsi qu'on peut le voir dans la note n.^, les propositions suivantes.