Théorème. Soient b, b' , b" — plusieurs

quantités de même signe en nombre n, et a, à , a ...

des quantités quelconques en nombre égal a celui

des premières. La fraction

sera moyenne entre les suivantes

Corollaire. Si l'on suppose b = b'=.b" ...= i , on conclura du théorème précédent que fa quantité

fi H- a' -+- a" -h 6cc . . .

est moyenne entre les suivantes

' I II v

Cette espèce particulière de moyenne est ce qu'on

nomme une moyenne arithmétique.

2/ Théorème. Soient a, a', a" ; b, b',

b" deux suites de nombres pris a volonté; et

foimions avec ces deux suites , que nous supposons

renfermer chacune un nombre n de termes , les

racines

VA, yA\ Y A", &c...:

A A' A... sera une 7iouveUc racine moyenne entre toutes les autres.

Corollaire. Si l'on prend

on trouvera que la quantité positive

i/AA' A" ...

est moyenne entre les suivantes

Cette moyenne , d'une espèce particulière , est celle que l'on nomme moyenne géométrique.

S.*" Théorème Les mêmes choses étant posées que dans le théorème i."" , si a y a y a." désignent ejîcore des quantités de même signe, la fraction

a. a -h CL' a' -\- a." a" 4- &c, , . , a. b ~\- a.' b' -^ a." b" -\- &c. , . .

sera moyenne entre les suivantes

T' T"' Â^' os^c...

Corollaire. Si l'on suppose on conclura du théorème précédent que ïa somme

/ ' Il II Q

acL •+■ a ûL ~\- a cl -\- çslq,. . . . est équivalente au produit de

et -H ûl' -H et" -i- &C. . . ,

par une moyenne entre les quantités a, a, a", &c. . .

Pour abréger, lorsque nous voudrons désigner une moyenne entre plusieurs quantités a, a , d\ ..., nous nous servirons de la notation

M{a, a!, ci' ....)•

Cela posé, les théorèmes qui précèdent et leurs corollaires se trouveront compris dans les formules

/ \ a H- a' H- a" -H <Scc -mrr , ,, >,

^^)\^,^.^--^ A~A A\..=M\/A, Y A', VA"..), {9)1/^ ^' ^" = ^^(^. A', A" ....),

/ >^ aa.-\-a' ct'-\-a" cc"-i~. . . ]\f f " «' «" \

(il) acL-^a a.' -\-a' cl'' -^..=:{du-^cL' -^a.'' ..)M{(i,a ,a .).

Dans ces formules ,

I II j 1 1 1 II I II

a, a, a ...; 0,0, b ... ; cL.,cL^a, ....

représentent trois suites de quantités , et

deux suites de nombres formées chacune de 7a termes dilFérens. La troisième suite est , ainsi que la seconde , uniquement composée de quantités de même signe.

La notation que nous venons d'adopter fournit le moyen d'exprimer qu'une quantité est comprise TOM. 1. B

18 COURS d'analyse, prélim.

entre deux limites duniices. En effet, toute quantité comprise entre les limites a, h étant une moyenne entre ces mêmes limites , on pourra la désigner par

Ainsi , par exemple , toute quantité positive pourra être représentée par M (o, oo), toute quantité négative par M (- oo , o), et toute quantité réelle par M ( — oo , H- oo ). Lorsque nous voudrons indiquer indistinctement une quelconque des quantités renfermées entre les limites a ei b , nous doublerons les parenthèses, et nous écrirons

Mich h))- Par exemple, si l'on suppose que la variable .v converge vers zéro , l'on aura

lim. ((sm.-^))=:=A/((-I.+l));

attendu que l'expression /«V/?. (( sin. —j) admettra , une infinité de valeurs comprises entre les valeurs extrêmes — i et h- i .

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