I." PARTIE. CHAP. VIL
Supposons encore n=4' ^'^ trouvera qu'il existe quatre valeurs de l'expression
ou , ce qui revient au même , quatre valeurs de x propres à vérifier l'équation
Parmi ces quatre valeurs, deux sont réelles, savoir,
Les deux autres sont imaginaires, et respectivement
Corollaire 2/ Lorsque n est impair , les diverses valeurs que le nombre entier k peut recevoir , sans sortir des limites o , -^ , sont respectivement
égales la première a
COS. 1- y— i
sin.
TT
a seconde à
COS. y— 1
sin.
Pour chacune de ces valeurs de k, la formule (3)
fournit en général deux valeurs imao;inaires con-
juguées de l'expression ((1))"' c'est-à-dire, deux racines imaginaires de l'unité conjuguées et du
degré n. Seulement, on trouve, pour kz=zo, une racine unique et réeiie, savoir, -h i. En résumé, lorsque n est impair, l'expression
admet , avec îa seule valeur réelle
n — I valeurs imaginaires conjuguées deux à deux, savoir ,
COS. Ht/— "sin. , cos. - — - — t/— isin. ,
Âyr y . A-TT AT , — . 4^
COS. \-Y — isin. , COS. — -■ — i/ — ism. «
f f;i— i)t . (n—]]'7r (n—\)7r . (;:— l'iT
1 COS. hv — 1 sin. , COS. y — i sin. '■ — .
Le nombre total de ces valeurs réelles ou imaginaires est égal à n.
Supposons , par exemple , w r= 3 . On trouvera qu'il existe trois valeurs de l'expression
ou , ce qui revient au même , trois valeurs de ^ propres à vérifier l'équation
et que ces valeurs , dont une est réelle , sont respectivement
ï." PARTIE. CIIAP. VU. 203
3T . , ITT 2T / . 2T
eos. H-t/-- ism. , cos. 1/ — isin. .
De plus , le coté de l'hexagone étant , comme on sait , égal au rayon , et le supplément de l'arc sous-
tendu par ce cote ayant pour mesure , on
obtiendra facilement les équations '
COS. =: , sin. = H <,
en vertu desquelles les valeurs imaginaires de l expression ((i)) ^ se réduisent à
Corollaire j/ n désignant un nombre entier quelconque , le nombre des valeurs soit réelles , soit
imaginaires , de l'expression (( i )) " , ou , ce qui revient au même, le nombie des valeurs de x, propres à vérilier l'équation ^^ := i , restera toujours égal à n.
2.* Problème. Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de r capression
Solution. Les nombres m et n étant supposés premiers entre eux , on aura , d'après la déiinition
même de l'expression ((i)) " ,
puis , en remettant pour (( i )) " sa valeur générale tirée de l'équation (3), on trouvera
((l)) = [cos. — ^— d= /- . sin. -^^J ,
et par suite ,
(6) ((l)) =cos. —^^ =fc /- . sin. — ^p- .
Pour déduire de cette dernière formule toutes îes
valeurs de (( i )) " , il ne reste qu'à donner successivement à /c toutes les valeurs entières comprises
entre o et — . Soient k' , k" deux de ces valeurs
supposées inégales. Je dis que les cosinus
rn.i 1/ ■TT m .2 k" TT
