I." PARTIE. CHAP. VU

zhk'ztk" fût divisible par n ; ce qu'on ne saurait admettre, attendu que, les nombres /c' , k" étant inégaux, et chacun d'eux ne pouvant surpasser ~n, leur somme ou différence est nécessairement inférieure à n. Ainsi, deux valeurs différentes de k comprises entre les limites o et ^^ fournissent deux valeurs différentes de

On conclut aisément de cette remarque, que les

valeurs réelles ou imaginaires de l'expression ((i))" données par l'équation (6) sont en même nombre

que les valeurs réelles ou imaginaires de (( i )) " déterminées par l'équation (3). De plus, conune on a évidemment

tm . rki: , . . m . i k rr ~\ ^ COS. rt y — I sin.

c= COS. m .ikir dt )/— I sin. m . zkvr =. i ,

il en résulte que toute valeur de (( 1 )) " est une expression réelle ou imaginaire dont la puissance 7i équivaut à l'unité , par conséquent , une valeur de

^i)) " . Ces observations conduisent à la formule

dans laquelle le signe = indique seulement que l'une des valeurs du premier membre est toujours égale à l'une des valeurs du second.

206 COURS d'an AL YS s.

3.^ Problème. Trouver les divei'ses valeurs réelles ou imaginaires de V expression

Solution. On aura, d'après la définition des puissances négatives,

puis, en remettant pour ((i))" sa valeur générale tirée de l'équation (6) , et ayant égard à ia formule (p) du paragraphe précédent,

(8) ((l)) " =cos. -^^qr /=Tsin. -^^^.

II suit de cette dernière équation que les diverses

valeurs de (( i )) " sont les mêmes que celles de

(( I )) " , et par conséquent égales à celles de (( i )) " . On a donc

le signe = devant être interprété comme dans Féquation (y).

Corollaire. Si l'on fait 77^ = 1, la formule (p) donnera