TT

et de même, ïes puissances fractionnaires de — i ,

positives ou négatives , du degré — , ou ,

seront ies diverses valeurs de

((-■r ou ((-.))"\

En conséquence, pour déterminer ces racines et ces puissances , il suffira de résoudre l'un après l'autre les trois nouveaux problèmes que je vais énoncer.

4.^ Problè;me. Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l' expression

Solution. Soit

.:r =: r ( COS. t -H y^— I sln. /)

l'une de ces vaicurs , ;• désignant une quantité positive, et t un arc réel. On aura, d'après la défi-

nition même de l'expression (( — i )) " ,

(il) .r"=-i,

ou , ce qui revient au même ,

r" [ COS. îît -^ -j/— i sin. /«^],r= — r .

On tirera de cette dernière équation [ à l'aide du

théorème i.*', §. 2]

COS. nt -^ )/— I sin. nt:=i — i ,

et par suite j

cos.W^= — I, sin.?2/=:0, W^=d:: (2 ^-H l) TT ,

^ représentant un nombre entier quelconque. Les quantités r et ^ étant ainsi déterminées, les diverses valeurs de x propres à vérifier l'équation (i i) se trouveront évidemment comprises dans la formule

(12) ^ = cos. -^^ ^— rt i/— I sin. -^: — ■ —' ,

En d'autres termes , les diverses vaieurs de (( — i)) " seront données par l'équation

.{'3) ((-l)) =co5. ^ ±:i/-isin. ^ ^ .

Soit maintenant A le nombre entier le plus rapproché du rapport -^ — '—^ . La différence entre les

deux nombres h , -^ sera évidemment une

fraction de numérateur impair , inférieure ou tout au plus égale à — ; en sorte qu'on aura