I." PARTIE. CHAP. VIL

positif, il en résulte que des équations (i 4) et (15) les deux premières subsisteront, si et est positif, et les deux dernières , si ol est négatif. Voyons maintenant à quoi se réduisent dans ces deux hypothèses les formules (i) et (c;).

Si d'abord on suppose cl positif, les équations (i o) pourront être remplacées par les équations ( i4) ; et l'on déduira de celles-ci une infinité de valeurs de 6 , parmi lesquelles on doit remarquer la suivante

Lorsqu'on fait usage de cette valeur , les formules(i) et (9) deviennent respectivement

. (17) ct-^b]/— 1 =:j5 (cos. C^-H]/— I sin. (^) ,

(l 8) ((ct-t-C/-:T))^=/(cos.«(^-4-/-:7sin.«^)((l))\

Si l'on suppose en second lieu au négatif, les équations ( ïo) pourront être remplacées par les équations (15), desquelles on déduira, entre autres valeurs de ô ,

(19) 6 = (^vr.

Par suite, on pourra, dans cette hypothèse, aux formules (i) et (p) substituer celles qui suivent,

(20) cC4-ê|/-i = — ^(cos. (^H-)/^sin. (f),

f ((a + ^/urrr

(21)/ = S'" [cos. {a{ -^aiT)-\- /HT sin. [a^ -\- a-ïï)"] ((i))"

f = J'" (cos.ai^-+-y'zrrsin,a^) (cos.aT-t- /^Tsin.aT) ((i))".

Si l'on fait en particulier ce -h ê )/-^ = — i , c'est- TOM. 1. F

à-dire , et = — i , C = o , on trouvera

^ =z arc tang. \^^J = O ;

et la formule (21) deviendra

(2 2) ((— I ))" = (cos. «TT •+• -/^ sin. avr) (( 1 ))'.

II en résulte qu'on aura généralement dans l'hypothèse admise

En réunissant aux formules (17), (18), (20) et (23) les équations (25) et (26) du 3.^ paragraphe, on obtiendra définitivement ies conclusions suivantes.

Soit ct-Hb]/— I une expression imaginaire quelconque, a une quantité positive ou négative dont la valeur numérique soit fractionnaire , et A un nombre entier choisi arbitrairement. Si l'on fait, de plus,

(24) / = /(ct*H- Q'), ^= arc tang. — ,

on aura , pour des valeurs positives de et ,

icL -+- G]/— 1 = P ( COS. Q H- j/— 1 sin. /) , ((^^^/::7)y =/ {cos.a (-H y'^sin.aO ((i ))" , (^i)y z= COS. 2 kavr ±: y^ sin. 2.1: aTT \

et , pour des valeurs négatives de cl ,