I." PARTIE. CKAP. VII

ct-+- G j/— 1 :=. — J> (cos. Q -H ]/— • sin. Q ,

(26) ' ((ct+e /^)y =/ {cos.a(+/^ sin.«^) ((- , )y ,

On doit ajouter que, si l'on désigne par n le dénominateur Je la fraction la plus simple qui représente la valeur numérique de a, n sera précisément ie nombre des valeurs distinctes de chacune des expressions

et que, pour déduire ces mêmes valeurs des formules (25) et (26), il suffira d'y substituer successivement , au lieu de 2 X- et de 2 ^' -+- 1 , tous les nombres entiers qui ne sortent pas des limites o et n.

Si la valeur numérique de a devenait irrationnelle, chacune des expressions réduites

COS. 2 ^ a TT rfc y^— 1 sin. 2 k a 7V ^

COS. (2^-«-I.ûf7r)=±: )/— isin.(2X:-HI.«7r) ,

aurait un nombre indéfini de valeurs correspondantes aux diverses valeurs entières de k; et, par suite, on ne pourrait plus admettre dans le calcul les notations

à moins de considérer chacune d'elles comme propre ù représenter une infinité d'expressions imaginaires

distinctes les unes des autres. Pour éviter cet inconvénient , nous n'emploierons jamais les notations dont ii s'agit que dans le cas où la valeur numérique de a sera fractionnaire.

Parmi les diverses valeurs de ((i))", il en est une toujours réelle et positive, savoir, -t- i , que l'on indique par la notation (i^ ou i" , en faisant usage de parenthèses simples , ou même les supprimant entièrement. Si l'on substitue cette valeur particulière de ((i))' dans la seconde des équations (2^), on obtiendra une valeur correspondante de

que l'analogie nous porte à indiquer, à l'aide de parenthèses simples, par la notation

( et H- € /^ )".

C'est ce que nous ferons désormais. Par suite , on aura, en supposant cl positif, et les quantités f ^ F déterminées par les équations (24) ,

(27) (ctH-Ê/^)" =/>'' (cos. a^-^ -/^isïn.a^).

Cette dernière équation ayant lieu toutes les fois que la valeur numérique de a est entière ou fractionnaire , l'analogie nous conduit encore à la considérer comme vraie dans le cas où cette valeur numérique devient irrationnelle. En conséquence , nous conviendrons de désigner par

( ce H- c y^i y