I."' PARTIE. CHAP. IX

îa série (3) est convergente ef qu'elle a pour somme cette limite , ou bien qu'elle est divergente et n'a pas de somme. Le premier cas aura évidemment lieu , si les deux sommes

Ç'o-*-^: -^ -^qn-r

convergent elles-mêmes, pour des râleurs croissantes de n, vers des limites fixes ; et le second, dans la supposition contraire. En d'autres termes , la série (3) sera toujours convergente en même temps que les séries réelles (i) et (2). Si ces dernières, ou l'une d'elles seulement, deviennent divergentes, la série (3) le sera également.

Dans tous les cas possibles, le terme de la série (3) qui correspond à l'indice n, savoir,

Pn -+- qn V^ ,

est ce qu'on nomme son terme général.

L'une des séries imaginaires les plus simples est celle qu'on obtient en attribuant à la variable x, dans la progression géométrique

une valeur imaginaire. Concevons, pour fixer les idées , que l'on fasse

^ = z(cos. ô^-/ITsin. ô),

z désignant une nouvelle variable supposée réelle et e un arc réel. La progression géométrique dont li s agit deviendra

. V l I, ^ (cos.g-H- j/^siu. 9), ;3^ (cos. 2 0-+-Y/ir7sin. 20), . . ,■ ] . . . z" { COS. n^ -\-- -j/^ sin. n 9 ) , &c

Pour obtenir l'équation qui détermine la somme des n premiers termes de la série précédente , il suffit de remplacer x par -s (cos. 0--i- |/^sin. ô) dans la formule

l -\-X-\-JC H- ... H- X^~ ' =

On trouve de cette manière