I."^ PARTIE. CHAP. IX
et , dans la seconde hypothèse , une série divergente qui n'a plus de somme.
La somme d'une série imaginaire convergente s'indique , comme si ia série était réelle , par la somme de ses premiers termes, suivie d'un &c...
Cela posé , si l'on appelle s la somme de la série
(3) supposée convergente, et que dans la formule
(4) on fasse croître n indéfiniment , on trouvera , en passant aux limites,
/ \ j ^ = (;'oH-?ov/^)-H(p,-i-7,-/=rr)+(/j,H-</,-/^)-h&c...
De même , lorsqu'on supposera la valeur numérique de z inférieure à l'unité, on tirera de l'équation (6), en faisant croître n au-delà de toute limite assignable ,
!\-\-z (cos.q-t-y^i sin.g)-i-z^(cos.2Ô-f-|/irrsin.2Ô)-l-&c.., I I— ::cos.9-t-.-sin.fi-/Z7 I — ;;cos.g — zsin.Q.y/ZT i — zscos.Q-t-i^
En vertu de la formule (7) , le premier membre de l'équation (8) peut être présenté sous la forme suivante
(H-zcos.6-f-5-cos.26-4-&c...)-t-(::sin.9-4-z*sin-29-h&c...)^ir7.
On aura donc , pour des valeurs numériques de z inférieures à l'unité ,
f (l•^-scos.g^-z*cos.26-^&c...)-^-(-sin.9-+-s*sin.29^-&c...)y^I^I
\)) \ 1--SCOS.9 ssin.g ,
On en conclura
/j^y 1~ZZC.0S.(,+Z^ (^__,
Ainsi la substitution d'une valeur imaginaire de x dans la progression géométriQue
1 ) «27 y JC ^ ... ce , (X.C. ...
suffit pour conduire à la sommation des deux séries
( I, â;COS.9, ^* COS. 20, ... ^"cos.7?ô, &C...
(il)
( ^sin.0, ^*sin. 29, ... ^"sin.wô , &C...
toutes les fois que la variable z reste comprise entre les limites
c'est-à-dire , toutes les fois que ces deux séries sont convergentes.
Les premiers membres des équations ( i o) étant [en vertu du i.*'' théorème, chapitre VI, §. i.''] fonctions continues de la variable z , dans le voisinage de toute valeur particulière comprise entre les limites ^ = — I , G = -f- I ; le premier membre de l'équation (9) sera lui-même, dans le voisinage d'une sembiabîe valeur, fonction continue de z. Or, ce premier membre n'est autre chose que la somme de la série (5), dont ics diflérens termes restent fonctions continues de z entre des limites quelconques. En généralisant la remarque qu'on vient de faire, on obtient la proposition suivante.
