I."'' PxVRTIE. CHàP. IX

l." Théorème. Lorsque les différens termes de la série i^"^) sont des fonctions d'une même variable z, continues par rapport a cette variable dans le voisinage d'une valeur jjarticulière pour laquelle cette série est convergente , la somme s de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de z.

DÉMONSTRATION. Eli effet , dans ie voisinage de la valeur particulière attribuée à la variable z , la série (3) ne peut être convergente et avoir pour ses différens termes des fonctions continues de .3, qu'autant que les séries réelles (i) et (2) jouissent l'une et f autre des mêmes propriétés : or , dans cette hypothèse, chacune des sommes

To-^p. -^p. -^- <^c ,

étant [en vertu du i ." théorème , chap. VI, §. i .*' ] fonction continue de la variable z , ï\ en résulte que {a somme de fa série (3), savoir,

sera aussi fonction continue de cette variable. Supposons maintenant que l'on désigne par

les modules des différens termes de la série (3) , et par

les expressions réduites correspondantes, eti sorta

qu'on ait généralement

La série (3) deviendra

iJo (cos.9oH— /^sin.Go), J», (cos.9,-+-/irrsin.0,), j3^(cos.9^-Hy/ir7sin.9j, J'„(cos.9„+y/3:7sin.0„), &c, ;

et l'on pourra ordinairement décider si cette série est convergente ou divergente , à l'aide du théorème que je vais énoncer.