NI ' -^ ••2.3-4 M

1 èCC... =:: sin. C.

Ces dernières subsistant, aussi bien que les équations (2^), pour des valeurs réelles quelconques de z, il en résulte que les fonctions sin. z et cos. z sont toujours développables en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable qu'elles renferment. Comme cette proposition mérite d'être remarquée , je vais la démontrer ici directement. La série

I , y, - -, 6vC. . . ,

étant convergente pour toutes les valeurs réelles po.ssibles de la variable j" , restera convergente [en vertu du i ^' théorème , corollaire i ." ] pour des

valeurs imaginaires quelconques de cette même variable. Si Ton multiplie la somme de cette série par la somme de la série semblable

en ayant égard à-la- fois au 3 / théorème du premier paragraphe, et à la formule (6) du VÏIl/ chapitre [15. 4 ] » on trouveia , pour toutes les valeurs possibles réelles ou imaginaires attribuées à .r et à y,

/ — 1 H -i — H J; "'^ H As;e. . . .

Lorsque, dans l'équation qui précède, on remplace X par j: |/— i et y par y ;/— 1 , on obtient la suivante

r yV=T

dans laquelle on pourra , si l'on veut , suj^poser réelles les variables jc et y. Faisons, dans cette hypothèse ,

'nrLvj= iH ^ 5 — ^H-&c

L'équation (3 2) deviendra

^(.•r)'ûr(y) = ts-U-^^ij) ;

i." PARTIE. CHAP. IX. 303

et Ton en conciura [ voyez le chapitre VIII ,5.5, équation (12)] ,

tsr (jc) = A'' [cos.^^ -+- -y/—! sin. bx'j ,

ou , ce qui revient au même ,

..2.3.4 x = — oc

x = H-oo

A" (cos. bjc-^ ■/— ' sin. ba:) j

les lettres A et b représentant deux constantes inconnues , dont la première est nécessairement positiv-e. On aura par suite

I 1 &C. ...=:: A'^ COS. b^ ,

(kc. . .. = A" sin. ba:.

Pour déterminer les constantes inconnues ^ et ^, il suffira d'observer , i .° que les formules (3 4) doivent subsister lorsqu'on y change .v en — x, et que, pour remplir cette condition, il faut nécessairement supposer

par conséquent Ar=z\\ 2.° que, si après avoir divisé par X les deux membres de la seconde des for-

mules (34) on fait converger la variable x vers la limite zéro , le premier membre convergera vers la limite i , et le second membre , savoir ,

Ax sin. hx Ax s \hx 7

Vers la limite h; d'où résulte l'équation h^=:.\. Cela posé, les formules (33) et (34) deviendront respectivement

X =:; — GO j