OLC... =r sm. .T

Si dans les deux dernières on remplace la variable v par la variable z , on retrouvera les formules (30).

II est essentiel d'observer que l'équation (35) , lorsqu'on y suppose .z- := ^ sin. ô , fournit ie développement de

COS. f^ sin. 0 j -h- }/— I sin. iz sin. 0 ]

suivant les puissances ascendantes de z. Si l'on miiiîiplie ce développement par celui de

ï."' PARTIE. CHAP. IX. 305

€11 ayant égard à la formuie (3 1) qui subsiste ponr toutes {es valeurs réelles et imaginaires des variables qu'elle renferme, oîi obtiendra précisément l'équation (28).

.3.^ PllOCLÈraE. Trouver la sojmne de la série

i y(co5.Ô-v-/-. sm.Ô)., — — (cos.2Ô-H/^sin.2Ô), ( H- — (cos. 3 Ô -+- y -I sin. 3 G) , &C. . . .

dans le cas où l'on attribue à la variable z une valeur comprise entre les limites

Solution. Si l'on prend à l'ordinaire la lettre / pour la caractéristique des logarithmes népériens , on aura

[l -\-1Z COS. \j -k- Z j- :=: e - ■>

et par suite l'équation (21 ) pourra être mise sous la forme

la valeur de *• étant toujours donnée par la formule TOM. I. ^

3o6 COURS d'analyse.

(i8). Si dans l'équation précédente on développe les deux facteurs du second membre en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de fji , puis , que l'on effectue le produit des deux développemens à l'aide de la formule (31)» on trouvera

I t- ^ s (cos.9-4-i/^ sin.e)-4-^^^~ -=' (cos. 2^'h■^/~l sin. 2&,

+. -^ [-1-/(1 -+■ 2Z cos.ô H- 5^) -+- S y^Y ■+■ &€....

Enfin , si, après avoir retranché l'unité de chaque membre , puis divisé les deux membres par ^ , on fait converger la quantité ^ vers la limite zéro , ou obtiendra l'équation

— (cos. en- i/^ sin- 6) (cos.2eH-V-x sin. 2 G.

zzz ~ /(i H- 2r. COS. 9 H- x;') -t- *' /-' ,

ia valeur de z devant être , comme dans l'équation (21), comj}rise entre les deux limites

— 1 et -H I .

Corollaire j/' Si l'on égale, dans les deux membres de iequation (37), 1.° les parties réelles,