I/' PARTIE. CHAP. X

En d'antres termes, u^-^- v„i/—t sera une racine de i'éc[uatioii

La démonstration précédente du théorème i ." , quoique différente en plusieurs points de celle qu'en a donnée M. Legendie [ Théorie des Nombres , I/' Part. J. XIV], est fondée sur les mêmes principes.

Corollaire:. Le polynôme

s'évanouissant , ainsi qu'on vient de le dire, pour

sera, en veiiu du i ." théorème [chap. Vîll, §. 4] » algébriquement divisible par le facteur

•^ — "o — «^ol/— '•

Le quotient, ne pouvant être qu'un nouveau polynôme du degré ?i — i par rapport à x, sera encore nécessairement divisible par un nouveau facteur de même forme que le précédent, c'est-à-dire, du premier degTé par rapport à a:. Désignons par

ce nouveau facteur. Le polynôme /(.r) sera équivalent au produit des deux facteurs

«^ — Wo — -o /-' , .r — u^—v, i/^ par un troisième polynôme du degré n — z. On

340 COl'RS i}'A>ALYSr..

prouvera que ce tioisiènie polyiiome est divisible par un troisième facteur semblable aux deux autres; et en continuant à opérer de la même njauière , on finira par obtenir n facteurs linéaires du polynôme f[^i\ Soient respectivement

x—u^ — fo y'^i ) ^ — "i — ^', /^i . — ^' -- ".•■ — i'„, s/'^i

ces mêmes facteurs. En divisant le polynôme y"(-t') par leur produit , on trouvera poiu- quotient une constante évidemment égale au coefficient f/„ de la plus haute puissance de x dans f[^\ On aura en conséquence

Cette dernière équation renferme un théorème que l'on peut énoncer ainsi qu'il suit.

2.^ Théorème. Quelles que soient les valeurs réelles ou imagiuaires des constantes a„, «, , .... ^«-i ^ "■nf ^^ polynôme

sera équivalent au produit de la constante a^ par ^acteurs linéaires de la forme

— oc — €|/— I.

Déterminer les facteurs dont il est ici question , c'est ce qu'on appelle décomposer le polynôme /(.r) en ses facteurs linéaires, il n'y a qu'une seule ma-