I." PARTIE. CHAP. X

nièrc d'effectuer cette décomposition. Pour ie démontrer , supposons que deux méthodes diilérentes aient fourni les deux équations

/• /(x) =ao (x — Uo— Vo v/^) X (x — u, — v, t/~i) X ••• j /(x) = ao(x-a„^o/-Ox (^-*.-'^. /-')'<•••

On en tirera

( (x-ûto— oo-/=rr)(x-a,-c,/irr)...(x-ût„,-C„>,/^) (23) i

(= (.r-Uo— Vo/-!) (X-Jf.— t- ,/,) . . . (X-M„,— V„,/-i ) .

Le dernier membre de la formule précédente s'évanouissant lorsqu'on attribue à Ja variable x la valeur particulière ^^^-^-f^]/— i , il faudra de toute nécessité que , pour cette même valeur de x, le premier niembre , et par conséquent fun de ses facteurs [voyez le chap. VU, §. 2 , y.*" théorème, coroll. 2] se réduise à zéro. Soit

le facteur dont il s'agit. On aura identiquement

et par suite

.r — oL„ — (^,, /-T =r .r — //„ — ?•„ ■/-^.

Cela posé, la formule (23) pourra être remplacée par la suivante

(.r et, — ê. /— ) . . . {x— ot„. - C„, y^-y)

Le second membre de celie-ci s'évanouissant lorsqu'oii suppose

l'un des facteurs du premier membre , par exemple ^

œ — cL, — <^, /-^ ,

devra s'évanouir dans la même hypothèse; ce qui entraînera deux nouvelles équations identiques de la forme

ct-i -+- ^i -/-' — u,-h t\ /^ ,

cr -^ OL, — C, -j/— I =r JT — 2^j — V, ]/— ' .

En répétant plusieurs fois le même raisonnement, on prouvera que les differens facteurs linéaires dont se composent les seconds membres des équations (22) sont absolument les mêmes dans l'une et l'autre équation. Il est essentiel d'ajouter que chaque facteur imaginaire de la forme

.r — ce — Q)/— '

se change en un facteur réel .r — et, toutes les fois que la quantité C se réduit à zéro.

Le premier membre de l'équation (i), étante d'après ce qu'on vient de dire , décomposable d'une seule manière en facteurs linéaires , ne peut s'évanouir qu'avec fun de ces facteurs. Si donc on le$