CL -+■ C-j/— I

Ces remarques suffisent pour établir la proposition suivante.

3.^ Théorème. Quelles que soient les valeurs réelles ou les valeurs imaginaires des constantes ^o^ «. » • • ■ c„-i » «„ , l'équation

a toujours n raciîies réelles ou imaginaires , et n'en saurait avoir un plus grand nombre.

Il peut arriver que plusieurs des racines de l'équation (i) soient égales entre elles. Dans ce cas, le nombre des valeurs différentes de la variable propres à vérifier cette même équation devient nécessairement inférieur à n. Ainsi, par exemple, l'équation du second degré

^■* — 2 ^.r -f- «* rr= o ayant ses deux racines égales , on no pourra v satis-

34 i COURS d'analyse.

faire que par une seule valeur de a: , savoir,

Lorsque ies constantes a,,, «, , ... a„, , a„ sont toutes réelles, i'expressîon imaginaire

et -^ G j,/— I

ne peut évidemment être une racine de iequation ( 1 ) , sans que l'expression conjuguée

soit une autre racine de la niême équation. Par conséquent, dans cette hypothèse, les facteurs imaginaires et linéaires du poiynome qui forme le premier memhre de l'équation (i) sont .deux à deux conjugués, et de la forme

Le produit de deux sembiahles facteurs étant un polynôme réel du second degré, savoir,

on déduit immédiatement de l'observation qu'on vient de faire le théorème suivant.

4.^ Théorème. Lorsque «o, «.,••• «„-i » ^n désignent des constantes réelles , le polynôme

est décomvosable en facteurs réels du premier ou du second degré.

D^ns ce qui précède, nous avons présenté les