I."' PARTIE. CHAP. X

racines imaginaires de l'équation (i) sous la forme et dr € /^,

Alors, pom' le poivnome (2^), un facteur réel du second degré correspondant à deux racines imaginaires conjuguées

était de la forme

Si l'on fait, pour plus de commodité,

oL ± G )/— 1 = P (cQS. 0 =i= ]/— ' sin. 9) ,

Ij? désignant une quantité positive, et 0 un angle que l'on pourra supposer compris entre les limites o , vrl , le même facteur réel du second degré deviendra

(.r — /?cos.ô)^ H-(/sin.ô)*

r=: x"" — '^f^ COS. ô -H^*.

Il est facile de construire géométriquement cette dernière expression dans le cas où Ton attribue à hi variable x une valeur réelle. En effet, si l'on trace un triangle dans le(}uel un angle soit égal à ô, les deux côtés adjacens étant respectivement représentés l'un par la valeur numéricpie de x , l'autre par le module j> , le carré du troisième côté sera [ d'après nn théorème connu de trigonométrie] la valeur du trinôme

vT* 1 P X CO,S. ^ ->r- ^' s

toutes ies fois que la variable Je sera positive. Si fa variable x devient négative , if suffira de remplacer dans la construction indiquée l'angle ô par son supplément.

Le troisième côté du triangle dont il est ici question ne peut s'évanouir que dans le cas où les deux premiers côtés tombent sui- une même droite, et où leurs extrémités coïncident, ce qui exige, i .° que l'angle ô se réduise à zéro ou à tt, 2." (juc la vali'ur jiumérique de x soit égale à j>. Par suite , le facteur

jr* — 1 p X COS. t) -+- p^

ne pourra devenir nul pour une valeur réelle de x , à moins que l'on ne suppose

COS. % ■=. \ ou COS. 9 1=: — I ;

et la seule valeur de x propre à faire évanouir ce facteur sera , dans la première hypothèse ,

dans la seconde ,

On arriverait directement au même but en observant que l'équation

Jr* — 2 p a* COS. ô -»- j3' 1= o

a deux racines

p Tcos. 6-i-|/ — 1 sin. 9 j , P ^cos.9 — |/— i si». 9 j ,

qui ne peuvent cesser d'être imaginiiii^es sans devenir