I." PARTIE. CHAP. II

port à X entre les limites données , si , entre ces limites, un accroissement infiniment jiclit de la variable produit toujours un accru isseinent infiniment petit de la fonction elle-même.

On dit encore que la fonction /(jc) est, dans le voisinage d'une valeur particulière attribuée à la variabie œ , fonction continue de cette variable, toutes les fois qu'elle est continue entre deux limites de X , même très-rapprochées , qui renferment la valeur dont il s'aejit.

Enfin, lorsqu'une fonction/(x) cesse d'être continue dans le voisinage d'une valeur particulière de la variable jc , on dit (ju'elle devient alors discontinue, et qu'il y a pour cette valeur particulière solution de contimnté.

D'après ces explications , il sera facile de reconnaître entre quelles limites une fonction donnée de la variable x est continue par rapport à cette variable. Ainsi, par exemple, ia fonction sin. x, admettant pour chaque valeur particulière de la variable x une vjileur unique et finie, sera continue entre deux limites quelconques de cette variable, attendu que la valeur numérique de sin. (4 ce), et par suite celle de la différence

&\n.{x^cL)—sm.Xz=z2. s\n.[\aL,) cqs. (x -4-^ et ),

décroissent indéfiniment avec celle de et, quelle que soit d'ailleurs la valeur finie que l'on attribue à x. En général , si l'on envisage sous le rapport de la continuité les onze fonctions simples que nous avons

considérées ci-dessus (chap. L", §.2), savoir,

Cf -+- X j CL -— X f Cl X f — ^ X f jnl ^ Lj X f

sin. X f COS. X , arc sin. X , arc cos. X ^

on trouvera que chacune de ces fonctions reste continue entre deux limites finies de la variable x, toutes les fois qu'étant constamment réelle entre ces deux limites elle ne devient pas infinie dans fintervalle.

Par suite , chacune de ces fonctions sera continue dans le voisinage d'une valeur finie attribuée à la variable x , si cette valeur finie se trouve comprise

3ur le» fonctions

sin. X