I." PARTIE. CHAP. II

II est bon d'observer que , dans le cas où Ion suppose « = d= m [m désignant un nombre entier), la fonction simple

est toujours continue dans le voisinage d'une valeur finie de la variable x , pourvu que cette valeur soit comprise ,

si az=-^ni, entre les limites. ..x=i — oo, .rr=-»-oo ,

! entre les limites. . . œ=z — oc , ar= o , ou bien entre les suivantes . . . ^ r= o , a:=^oo.

Parmi les onze fonctions que l'on vient de citer, deux seulement deviennent discontinues pour une valeur de x comprise dans l'intervalle des limites entre lesquelles ces mêmes fonctions restent réelles. Les deux fonctions dont il s'agit sont

— et x'* (lorsque <2 = — m).

L'une et l'autre deviennent infinies , et par conséquent discontinues, pour x=^o.

Soit maintenant

f{x, ij, z, ...)

une fonction de plusieurs variables x, y , z ...\ et supposons que, dans le voisinage de valeurs particulières X, Y, Z. attribuées à ces variables ,

f{x, y, z . . ,) soit à-Ia-fois fonction continue de x , fonction continue de y, fonction continue de z, &c.

On prouvera aisément que, si l'on désigne par et,

C, y . . . des quantités infiniment petites, et si l'on

attribue k oc, y, z ... les valeurs X, Y, Z , ou

des valeurs très-voisines , la différence

/(^•-Hct, y-»-<^, z~\-y)—f{x,ij., z...)

sera elle-même infiniment petite. En effet, il est clair que, dans l'hypothèse précédente , les valeurs numériques des différences

/(^-+-ct, 2j , Z, ...)— /(.r, y, z ...), /(.r-HûL, y-+-Ç>, z ...)—f{x-^cL, y, z ...), /(.rn-cc, yn-C, z-i-y ...)— /(^-f-ct, y^C, z ...), &c

décroîtront indéfiniment avec celles des quantités variables et, €, y .. . , savoir, la valeur numérique de la première différence avec la valeur numérique de CL , celle de la seconde différence avec la valeur numérique de C, celle de la troisième avec la valeur numérique dey, et ainsi de suite. On doit en conclure que la somme de toutes ces différences , savoir ,

f{x-i-ct,y-^C,z-^y,...)—f{.r, y, z ...)

convergera vers la limite zéro, si ce, C, y .... convergent vers cette même limite. En d'autres termes,

f{x-\-cL, y-^Ç>, z-^y...)

aura pour limite

La proposition qu'on vient de démontrer subsiste