I."^ PARTIE. CHAP. II

évidemment dans le cas même où l'on établirait entre les nouvelles variables et , ^ , y certaines relations. Il suffît que ces relations permettent aux nouvelles variables de converger toutes en même temps vers la limite zéro.

Lorsque , dans la même proposition , on remplace X, y, z ... par X, Y, Z..., et j7->-ct, y-»-^, z-^y... par œ, y, z ...^ on obtient l'énoncé suivant.

l.^"" Théorème. Si les variables x , y, z ... ont pour limites respectives les quantités jixes et déterminées X, Y, z ..., et que la fonction f(x, y, z ...) soit continue par rapport à chacune des variables X, y, z .... dans le voisinage du système des valeurs particulières

x — X, y=Y, z = Z ..., f[x, y, z ....) aura pour limite f(x, Y, Z ...).

Comme, dans ce second énoncé, les variables a, C>, y ... se trouvent remplacées par x — X, y — V,

z — Z, &.C , les relations qu'on pouvait établir,

dans le premier énoncé, entre ûc, ^,7..., pourront être établies , dans le second , entre les quantités r—X, y~Y, z—Z; et il en résulte que la fonction/(.r, ;/, z...) aura pour limite /(Jf, Y,Z ...)y

dans le cas même où les variables x, y, z

seraient assujetties à certaines relations , pourvu que ces relations leur pennettent de s'approcher indéfniiment des limites A", Y, Z

Supposons , pour fixer les idées , que x, y, z ...

soient fonctions d'une même variable t considérée comme indépendante, et continues par rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur particulière

Si Ton fait, pour plus de commodité,

u sera ce qu'on appelle une fonction composée de la variable t; et, si

désignent respectivement ce que deviennent

dans le cas où l'on suppose t=T , il est clair, d'une part, qu'une valeur de t très-voisine de T fournira pour u une valeur unique et finie ; d'autre part , qu'il suffira de faire converger t vers la limite T^ pour que les variables x^ y, z... convergent vers les limites X, Y ^ Z ,, ... , et par suite la fonction u=if{jc, y,z. . ») vers la limite U:=f[X, Y, Z ,..)^ On prouverait absolument de la même manière que, si l'on attribue à t une valeur très-voisine de T , la valeur correspondante de la fonction u sera la limite de laquelle cette fonction s'approchera indéfiniment, tandis que t convergera vers la valeur donnée ; et l'on doit conclure que u sera fonction continue de t dans le voisinage de tz=zT. On peut donc énoncer le théorème suivant.