III I

En eiïet ^ conbidérons , pour fixer les idées , la seconde

NOTE VIII. r).57

des équations (i^). En multipliant ses deux membres par ( j , on trouvera

("^V /"i^V /^iZV ("Z^ZiilV

sin/— ^ siu/ ^ sin/-^ ( 1) sm.^

TK m m

Soit d ailleurs « un nombre entier niferieur a — • ■Ue-

signons à l'ordinaire par la notation 31 (a , b) une moyenne entre les quantités a et h. Enfin observons

que le rapport —^ est toujours [voyez la page 64]

compris entre les limites i , — —. ; et que 1 on a par suite , pour des valeurs numériques de x inférieures à — ,

-.ri I I

sin. X siu.-x COS. -X cos.'-x

COS

Le second membre de l'équation (2^) sera évidemment la somme des deux polynômes

sin. ■

sin. siii.' —

-,lT »

dont le premier, en verln de l'équation (ri) des préliminaires, pourra être présenté sous la forme

tandis que le second , composé de w — i termes

tous inférieurs à — ; , restera compris entre les limites o et —T. Cela posé, l'équation (2(^) deviendra

et ion en conclura immédiatement

(30) H- — H |-...-h-T- = — ( I— — J X i>/{ I, cos/ — )

Cette dernière formule subsiste , quels que soient les nombres entiers m et ?? , pourvu que l'on ait j m > ?t. En outre , il est aisé de voir que , si l'on prend constamment pour ^ in le plus petit des entiers supérieurs à n" ( a désignant un nombre compris entre i et 2 ) , les rapports

— , — r converi^eront ensemble , pour des valeurs crois-

n ' ni~ "^ *

santés de 7i , vers la limite zéro, et le second membre de la formule (30) vers la limite -^ . Le premier membre

devant avoir la même limite que le second , il eu icsuite , I ." que la série

sera convergente, ce que l'on savait déjà [ voyez le corollaire du 3/ théorème , ciiapitre VI, §. 2] ; 2." que cette

série aura pour somme ^ .

L'équation (22) étant ainsi démontrée, on en tirera, en divisant ses deux membres par 4 >

On aura par suite

Cette nouvelle formule s'accorde avec l'équation (27) , qu'on peut déduire directement de la première Aq?» équations (24-) ou (26).

Avant de terminer cette note, nous ferons remarquer que, pour établir les huit formules (3), (4), (5), (6), (9) , ( 1 o) , (1 i ) et ( I 2) du chapitre VII [5. 5 ] , il suffit de démontrer les quatre dernières , et qu'on y parvient très-promptement en développant les équations ( i o) du chapitre IX [§. i/'], savoir,

(\ • z A ^ « r ' — ÎTCOS. 9 ; I ) i-l-zcos.Q-t-z cos.20-t-z^cos.3g-)-&c. = ■' ' 1— IZCOS

(32) ;3sin.g4-z^sin.2Ô-Hz^sin.59-|-&c. =

z sin. 9 |z = -h I

1 — 2ZCO.S.9+Z-

Considérons, par exemple, l'équation (32). On en tirera , pour des valeurs numériques de ;; inférieures à l'unité ,

560 NOTE vin.

isin.g+z^sin.zg-i-z'sin.^H^- • .-H~*''sin.2wg-i-2^''+'sin.(2n4-i)g+&c. I z sin. fl

1+;:^ 2î;cos.1

z — zî-f- z5 — ±z'"+-=f=&c,\

-hCOS. g(2z^ — 4z'*-+- q=2MZ*''±&C. ) J

. )-^cos/er^z^-l-.z^'+...rp --<"'+^-)z-- ±:S.c.M ï=sin.6xf V^i.2 1.2 ^^ 1.2 y •

et l'on trouvera par suite , en égalant entre eux ies coefficiens des puissances semblaibles de z ,

(33) sin. 2 n& z=.

( 1 ) sin. 6 I 2W cos.â— i J-j-^ -^ C0S.3 ô -f- &C. J ,

(34) sin.(2W-|-l)ô =

( l) sin.ô I -^^ ^cos.^8-4-&C J.

Si dans ces dernières formules on remplace ô par z , et in ou 272-4-1 par m , on obtiendra précisément les équations (i o) et ( 1 1 ) du chapitre VII [ §• 5 ]• Les équations (9) et (12) du même paragraphe se déduiraient , par un calcul semblable, de la formule (31).

Sur les Produits composés d'un 7iomhre infini de Facteurs.

DÉSIGNONS par (0 "o, u, , u,, u„ , &c

une suite infinie de termes positifs ou négatifs , dont chacun soit supérieur à — i . Si les quantités

(2) /(l-4-«.,), /(l-t-tt,), /(l-i-wj, ... l{l~^U„), &C...

[ / étant ia caractéristique des logarithmes népériens ] , forment une série convergente dont la somme soit égale à 5^ le produit

convergera évidemment, pour des valeurs croissantes cfu nombre entier n, vers une hmite finie et différente de zéro, équivalente à e\ Si au contraire la série (2) est divergente, le produit (3) cessera de converger vers une hmite finie différente de zéro. Dans le premier cas, on est convenu d'indiquer la limite du produit que Ton considère, en écrivant le produit de ses premiers facteuis suivi dun &"€. , comme on le voit ici,

(4-) (1 -+-tl,)(l H-?i,)(l -^U,) &c

La même notation peut être conservée dans le cas où cette limite s'évanouit.