TO.M
Pour que la série (2) soit convergente , il est d'abord nécessaire que, le nombre ti venant à croître indéfiniment , chacune des expressions
l{i~^uj, /(i+î^^^J, ^(ï-H«,^J, &c... ,
et par suite chacune des quantités
devienne infiniment petite. Cette condition étant remplie, comme on a généralement
(s) '('+-)-*-T+7-T+^'^-lx:+;|'
on trouvera , pour des valeurs de n très-considérables ,
dbg , zizg^^j , &c. . . . désignant encore des quantités infiniment petites ; puis l'on en conclura , en représentant par m un nombre entier quelconque , et par 1 r±i g une moyenne entre les facteurs iztg^, izfzg^^j, &c.,
Concevons maintenant que dans la formule précédente on fasse croître le nombre m au-delà de toute limite. Selon que chaque membre de la formule convergera ou non vers une limite fixe , la série (2) sera convergente ou divergente. Cela posé , l'inspection seule du second membre suffira pour établir la proposition que je vais énoncer.
l/' Théorème. Si la série (i) et la suivante
(8) uj-, u,\ u,\ . . . u„', &c
sont l'une et l'autre convenyentes , la série (2) le sera 'pareilleinent , et par suite le produit (^) convergera , pour des valeurs croissa/ites de n, vers une limite Jinie différente de zéro. Mais , si, la série ( 1 ) étant convergente , la série (8) est divergente , le second membre de la formule (7) ayant alors pour limite l'infini négatif, le j)roduit (^^) convergera nécessairement vers la limite zéro.
Corollaire /."■ Si la série (2) e'tant convergente a tous ses ternies positifs, ou si elle demeure convergente îors même qu'on réduit ses differens termes à leurs valeurs numériques, on sera évidemment assuré de la convergence de la série (8) ; et en conséquence le produit (3) aura pour limite une quantité finie différente de zéro. C'est ce qui arrivera, par exemple, si le produit en question se réduit à l'un des suivans :
Corollaire 2.' Comme la série
est convergente , tandis que les carrés de ses differens termes , savoir ,
Nn
forment une série divergente, il résulte du i ." théorème que le produit
a zéro pour limite.
Corollaire J/ Le théorème i /' subsiste évidemment dans le cas même oii parmi les premiers termes de la série ( i ) quelques-uns deviendraient inférieurs à — i . Seulement , lorsqu'on admet cette nouvelle hypothèse , on doit remplacer dans la série (2) les logarithmes des quantités négatives par les logarithmes de leurs valeurs numériques. Cela posé , il est clair que , pour des valeurs croissantes de w, le produit
convergera , quel que soit x , veis une limite finie différente de zéro.
Corollaire 4f Toutes les fois que la série ( 1 ) est convergente, le produit (3) converge, pour des valeurs croissantes de n , vers une limite finie qui peut se réduire à zéro.
Lorsque la limite du produit (3) est finie, sans être nulle , on ne peut pas toujours assigner sa valeur exacte. Dans le petit nombre de produits de cette espèce auxquels correspond une limite connue , on doit distinguer ie suivant
dont nous allons à présent nous occuper.
Quand , après avoir posé j; = — , on fait croître n
indéfiniment, le produit (9) converge vers une limite finie représentée par la notation
Pour déterminer cette limite, il suffira de recourir à l'équation (16) ou (iH) de la note précédente... Considérons, pour fixer les idées , l'équation (16). Si ion y écrit
par-tout — au lieu de z , on trouvera , pour des valeurs
paires de m,
sin. z = m siQ.
sin."
2 TT ( * ' ■ \ . , {in — i)7r f >
et par suite [ en supposant la valeur numérique de z inlérieure à 9t , et le nombre m égal ou supérieur à 2 ]
— \ / srii.- \ J siu.- ^ — \
Soient d'ailleurs n un nombre entier inférieur à -7?/^ ; 1 -4- et une quantité moyenne entre les rapports
sin.* — I I sin.^ —
sin.- \
et I -f- C une autre quantité moyenne entre les expressions
/l r-^} lU
I sin/ i!!±0^ ( K: 2 ("+^) '^
l sin * •
(m — z)7r sin/ ^:
Le second membre de l'equation (12) sera évidemment la somme des deux polynômes
sin/ I I sin." — / \ sîn.
»n ) f ni / V m
sin. - — / V sïn.
TO \ Il
(H-+-i)7r( ) . („+2)xl ■ ] . ^{m-i)
m J \. nt ' ^ i''*
dont le premier pourra être présenté sous la forme tandis que le second prendra celle du produit
,i„..^( (ELjL)' (EL:!)'
^ \' j («-+-')' ■„."±ilZ («+^)' -:- ^ ("-^-)'
que l'on peut réduire ( en vertu des principes établis dans la note précédente ) à
sjn/ ■ — •
'", (.-4-C).iV/(0, .).
Cela posé , l'équation (12) deviendra
sin. z
m sin. — cos, —
:(i+ê).il/(o, 1);
sni.
im m
el l'on en conclura, en faisant, pour abréger,
sin/ — - ,
puis, revenant des logarithmes aux nombres,
Ô6S KOTE IX.
V r?2sin. COS. /
Supposons maintenant que, la valeur de n étant choisie arbitrairement, on prenne pour ^m le nombre entier immédiatement supérieur à ii" (a désignant un nombre fractionnaire ou irrationnel compris entre I et 2). Lorsque la valeur de 71 deviendra très-considérable , les quantités
— , — Tî ût, ^,7> o seront mfinnnent petites, le produit
sin.
COS
différera très-peu de 2, et par suite le second membre de i équation (15) s'approchera indéfiniment de la limite
Le premier membre devant converger vers la même limite , on aura nécessairement
Cette dernière foînmîe se trouve ainsi démontrée dans le cas où la valeur numérique de z reste inférieure à TT. Alors les quantités dont nous avons pris -les logarithmes sont toutes positives. Mais la démonstration donnée subsiste également pour des valeurs numériques de z supérieures à tt , lorsque l'on convient de remplacer le logarithme de chaque quantité négative par le logarithme de sa valeur numérique. En conséquence, lequa-
tion ( I 6) demeure vraie , quelle que soit la valeur réelle attribuée à la variable z. On ne doit pas même excepter le cas oii l'on supposerait
z =. zh kir ,
k désignant un nombre entier quelconque , puisque dans cette hypothèse, les deux membres de l'équation s'évanouiraient en même temps.
L'équation ( i 6 ) une fois établie en fournira immédiatement plusieurs autres. Ainsi , par exemple , on en tirera, pour des valeurs réelles quelconques des variables X , y , ^ ,
K-v)(-v)(-^)(-^)(-f)(-iV)-
et
; sin. y
Si dans l'équation (17) on fait j3 = — , on trouvera
et par suite on obtiendra le développement de — en facteurs, découvert par le géomètre IVallis , savoîr,
On trouverait de même , en faisant ::; = — ,
Si dans I équation (18) on pose à-îa-fois
on en conclura
(2 I ) COS. z =
On pourrait déduire directement la même formule de l'équation ( i 5 ) ou ( 1 7) [note précédente] , en y remplaçant z par - , puis faisant converger le nombre m vers la limite 00. Observons enfin qu'on tirera de i'équation ( 1 6) , en y supposant la valeur numérique de z inférieure à tt ,
Comme on a d'ailleurs , dans cette hypothèse ,
sin. z
-ffâro-- y
et par suite [ en vertu des principes établis dans le chapitre VI et dans la note VII ] ; rj-
sin. z
la comparaison des coefficiens des puissances semblables de z dans les formules (22) et (24) donnera les équations
vr'-
(25) ( a< 3* 4^^ J" 1.2.3.4 yo '
dont ia première s'accorde avec la formule (28) de la VIII. " note. Les facteurs numériques —, —, — -, &c. . . . qui entrent dans les seconds membres de ces équations, sont ce qu'on appelle les nojnhres de Bernoulli. Ajoutons que, si l'on désigne par zm un nombre pair quelconque , on aura généralement
(26) «H-T^^ -H-ir H- i;-»-&«^
Dans ce qui précède , nous avons seulement considéré des produits dont tous les facteurs étaient des quantités réelles, et des séries dont tous les termes étaient réels. Mais on doit remarquer , 1 .° qu'en vertu des principes établis dans le chapitre IX [voyez l'équation (37) du §. 2, et l'équation (26) du Ç. 3 ] la formule (5) subsiste dans ie cas même où la variable x devient imaginaire , pourvu que son module reste inférieur à l'unité ; 2.° que le r^ipport
sin.z z' z^
-BUpî' • = i — H , ■ ' . - — - — &c. . . .
converge vers l'unité , toutes les fois que la valeur réelle ou. Iniaginaire attribuée à la variable s s'approche indéfiniment de zéro ; 3.° enfin que les équations (i 5), (16), (17) et (18) de la VIII, "^ note subsistent également pour des valeurs réelles et pour des valeurs imaginaires de z. En partant de ces remarques , on parviendra bientôt à reconnaître comment on doit modifier les propositions et les formules ci-dessus démontrées dans le cas oîi les expressions
Uo, u,, w^^^.&Cf. . . X, y, z,
deviennent imaginaires. Ainsi , par exemple , on établira san^ peine, à l'aide des formules (6), la proposition suivante , analogue au i ." corollaire du théorème 1 ."^
