I.'*^ PARTIE. CHAP. II

^. 3.* Valeurs singulières des Fonctions dans quelques cas particuliers.

Lorsque , pour un système de valeurs attribuées aux variables qu'elle renferme , une fonction d'une ou de plusieurs variables n'admet qu'une seule valeur, cette valeur unique se déduit ordinairement de la définition même de la fonction. S'il se présente un cas particulier dans lequel la définition donnée ne puisse plus fournir immédiatement la valeur de la fonction que l'on considère, on cherche la limite ou les limites vers lesquelles cette fonction converge, tandis que les variables s'approchent indéfiniment des valeurs particulières qui leur sont assignées; et, s'il existe une ou plusieurs limites de cette espèce , elles sont regardées comme autant de valeurs de la fonction dans l'hypothèse admise. Nous nommerons valeurs singulières de la fonction proposée celles qui se trouvent déterminées comme on vient de le dire. Telles sont , par exemple , celles qu'on obtient en attribuant aux variables des valeurs infinies, et souvent. aussi celles qui correspondent à des solutions de continuité. La recherche des valeurs singulières des fonctions est une des questions les plus importantes et les plus délicates dé l'analyse : elle oftVe plus ou moins de dillicultés, suivant la nature des fonctions et le nombre des variables qu'elles renferment.

Si, d'abord, on considère les fonctions simples

d'une seule variable , on trouvera qu'il est facile de fixer leurs valeurs singulières. Ces valeurs correspondent toujours à l'une des trois hypothèses

et sont respectivement,

pour la fonction

U + X (« désignant une quantité quelconque) flH-00=00 . . . (t — 00=^ — OO , « — X (a désignant une quantité quelconque) û — 00= — OO . . . a — ( — CXD)=C0 , a désignant une quantité positive û x 00=00. . .a x — CO= — OO,

a désignant une quantité négative <l x 00== — OO . . . a x 00=00 ,

a désignant une quantité positive -— -O, =ltOO, =^0>