I." PARTIE. CHAP. II

jcrzzbt, yzzzcf &c....,

a, h, c... désignant des quantités constantes. Alors, u étant fonction continue de j:; y, z .., entre des limites quelconques de ces variables , ci x,y, z.., fonctions continues de ia variable t en^tre des limites quelconques de cette dernière , on conclura du théorème 3.'' que la fonction

est elle-même continue par rapport à t entre des limites quelconques. Par suite, comme t^=o donne u = a , si l'on fait converger t vers la limite zéro , ia fonction u convergera vers la limite «r, et finira par obtenir le même signe que cette limite ; ce qui s'accorde avec le 4-*^ théorème du §. i ."

Une propriété remarquable des fonctions continues d'une seule variable , c'est de pouvoir servir à représenter en géométrie les ordonnées de lignes continues droites ou courbes. De cette remarque on déduit facilement la proposition suivante.

A.^ Théorème. Si la fonction fix) est continue par rapport à la variable x entre les limites x^=zx^, xz=zX, et que l'on désigne par h une quantité intermédiaire eîitre f[x^) etf\x), on pourra toujours satisfaire à l'équation

par une ou plusieurs valeurs réelles de x comprises entre x„ et x.

DÉMONSTRATION. Pour établir la proposition précédente , il suffit de faire voir que la courbe qui a pour équation

rencontrera une ou plusieurs fois la droite qui a pour équation

dans l'intervalle compris entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses x^ et X : or c'est évidemment ce qui aura lieu dans l'hypothèse admise. En effet, la fonction fi-^) étant continue entre les limites j7=:j:-(>, œ=zX , la courbe qui a pour équation yr=^f{^a:^^ et qui passe i .° par le point correspondant aux coordonnées -^ot f{,^o) ■> 2.° par le point correspondant aux coordonnées X eifi^X)^ sera continue entre ces deux points : et, comme l'ordonnée constante b de la droite qui a pour équation yz=zb se trouve comprise entre les ordonnéesy(.ro) , f{X) des deux points que l'on considère , la droite passera nécessairement entre ces deux points , ce qu'elle ne peut faire sans rencontrer dans l'intervalle la courbe ci-dessus mentionnée.

On peut , au reste , comme on le fera dans la note in , démontrer le 4' théorème par une méthode directe et purement analytique, qui a même l'avantage de fournir la résolution numérique de l'équatioa