I/^ PARTIE. CHAP. II

Dans le cas particulier où l'on suppose .x = o , le rapport ,/'v^-^")~/ -^ ^ç réduit à cet autre

Parmi les rapports de cette dernière espèce , nous nous bornerons ici à considérer le suivant

Comme il peut être mis sous la forme

sin. ( — ce)

sa limite restera la même , quel que soit le signe de CL. Cela posé , concevons que l'arc au reçoive une valeui- positive très-petite. La corde de l'arc double 2 CL étant représentée par 2 «in. et, on aura évidemment 2 et > 2 sin . et , et par suite

et > sin. et.

De plus, la somme des tangentes menées aux extrémités de l'arc 2 et étant représentée par 2 tang. et , et formant une portion de polygone qui enveloppe cet arc , on aura encore 2 tang. et > 2 et , et par conséquent

tang. et > et.

En réunissant les deux formules qu'on vient d'établir, on trouvera

sin. et < et < tiuig. et ;

puis , en remettant pour tang. et sa valeur ,

sin. CL

sin. ot < et <

COS. Cf.

sin. a 1 > > COS. (L.

Or, tandis que et diminue , cos. cl converge vers la limite i : il en sera donc de même àfortwri du

rapport — '—^ toujours compris entre i et cos. ce ,

en sorte qu'on aura

/ >. ;. sin. CL

(7) hm.—^—=i.

La recherche des limites vers lesquelles convergent

, . fh^cL)-f{x) f{oi)—f{o) ,^ ^

les rapports — - — - , ^^ ^^ — étant un

des principaux objets du calcul infinitésimal, nous ne nous y arrêterons pas davantage.

Il nous reste à examiner les valeurs singidières des fonctions de plusieurs variables. Quelquefois ces valeurs sont complètement déterminées , et indépendantes des relations que l'on pourrait établir entre ies variables. Ainsi, par exemple, si l'on désigne par

et, G, X, y , .

quatre variables positives , dont les deux premières convergent vers la limite zéro , et les deux dernières vers la limite '00 , on reconnaîtra sans peine que les expressions

£tC, j?y, ^, -|, c^y , x^ ,

ï/' PARTIE. CHAP. II. 65

ont pour limites respectives

O, oo, o, oo, o, oo.

Mais îe plus souvent la valeur singulière d'une fonction de plusieui^ varia[)ies ne ])eut être entièrement ^ètei-minéeque dans le cas particulier où, en faisant converger ces variables vers ieurs limites respectives, on établit entre elles certaines relations; et, tant que ces relations ne sont pas fixées, la valeur smgulière dont il s'agit est une quantité ou totalement indéterminée , ou seulement assujettie à rester comprise entre des limites connues. Ainsi, €omme on l'a remarqué plus haut, la valeur singulière à laquelle se réduit le rapport de deux variables inf miment petites, dans ie cas où chacune de ces variables s'évanouit , peut être une quantité auelconnue hme, nulle ou i.ihnie. En d'autres termes, cette valeur singulière sera complètement indéterminée. Si, au heu de deux variables infiniment petites on considère deux variables infinimt-nt grandes ,' on trouvera que le rapport de ces dernières , tandis <iue leurs valeurs numériques croissent indéfiniment c,onverge encore vers une limite arbitraire, mais positive ou négative, suivant que les deux variables sont de même signe ou de signes contraires. Il est également facile de s'assurer que le produit d'une variable inhniment petite par une variable infmi.nent grande a pour limite une quantité complètement HKÎéterminée.

Afin de présenter une dernière application des

principes qu'on vient d'établir, cherchons queîîcs valeurs ii faut attribuer aux variables x et y pour que la valeur de la fonction

devienne indéterminée. Si l'on désigne par A un nombre supérieur à l'unité , et par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A , on aura évidemment

et par suite

Or, il est clair que l'expression

convergera vers une limite indéterminée , lorsque le rapport

convergera lui-même vers une semblable limite, ce qui arrivera dans deux cas difFérens, savoir, i .° lorsque L[y) et X seront deux quantités infiniment petites, c'est-à-dire, lorsque x et y auront pour limites respectives o et i ; i° lorsque L[y) dix seront deux quantités inliniment grandes, c'est-àdire , lorsque x ayant une limite infinie, y aura pour limite o ou <x). Il est bon d'observer que, dans l'un et l'autre cas, la limite indéterminée de l'expression

ï." PARTIE. CHAP. II. 67

«eia nécessairement positive. II peut même arriver que cette limite soit assujettie à demeurer comprise entre les valeurs extrêmes o et i , ou bien entre les suivantes , i et oo . Concevons , par exemple , que chacune des variables .r et y converge vers la limite ex? . Dans ce cas , la limite du raj)port

étant une quantité positive quelconque, celle de

y " =: A " ne pourra être qu'une quantité moyenne entre i et oo . Cette moyenne sera d'ailleurs indéterminée , tant que l'on n'établira pas entre les variables infiniment grandes jc et y de relation particulière. Mais si l'on suppose

J'{jc) désignant une fonction qui croisse indéfiniment avec la variable .v , alors la moyenne dont il s'agit, n'étant autre chose que la limite de

obtiendra une valeur déterminée, que l'on pourra souvent calculer à l'aide du théorème 2.^

Si, au lieu de la fonction y'' ^ on eût considéré la suivante

on aurait trouvé que cette dernière devient indeter-

minée , i .* lorsque la variable y converge vers îa

iimite t , et la variable x vers l'une des suivantes,

— oo , H- oo ; 2.° lorsque, la variable x ayant zéro

pour limite, y converge vers zéro ou vers l'infini

positif.

Quelquefois on rencontre dans le calcul des expressions singulières qui ne peuvent être considérées que comme des limites vers lesquelles convergent des fonctions de plusieurs variables , tandis que ces mêmes variables deviennent infiniment petites ou infiniment grandes , ou même, plus généralement, convergent vers des limites fixes. Telles sont , par exemple , les expressions

OXO , —, ooxoo, —, oxoo, 0,1, &C....

parmi lesquelles on doit regarder les deux premières comme les limites vers lesquelles convergent le produit et le rapport de deux variables infiniment petites , les deux suivantes comme les limites du produit et du rapport de deux variables positives infiniment grandes, &:c. ... Si l'on considère en particulier les expressions singulières que produisent les fonctions

x-\-y, xy, y, y\ y^,

on trouvera que les valeurs de ces mêmes expressions, lorsque les variables restent indépendantes, peuvent être aisément fixées par ce qui précède. Les équations qui serviront à déterminer ces valeurs seront respectivement

ponr la

xy..