I.*' PARTIE. CHAP. II

pression (— ) = — ^- • Cette limite, en vertu du

théorème 2.' (coroîlaire i.*"'), est égale à l'unité.

De même , on conclurait du théorème i .'^'^ (corollaire I,") que la fonction

s'évanouit avec la variable x.

Lorsque les deux termes d'une fraction sont des quantités infiniment petites , dont les valeurs numériques décroissent indéfiniment avec celle de la variable et , la valeur singulière que reçoit cette fraction, pour ce = o , est tantôt finie, tantôt nulle ou infinie. En effet , désignons par k, k' deux constantes finies qui ne soient pas nulles , et par g , g' deux nombres variables qui convergent avec et vers la limite zéro. Deux infiniment petits, Tun de l'ordre 71, l'autre de l'ordre n' , pourront être représentés respectivement par

A-ct"(l=fcg), >t'ct'''( Idzg');

€t leur rapport , savoir ,

X ; XûL "=r-r-X^-; X-

ka."{\z±,^) k i±:i k izhi a."

aura évidemment pour limite

si l'on suppose

n znn ,

si l'on suppose

^oc,

si l'on suppose

On prouverait de même que la limite vers laquelle converge le rapport de deux quantités infiniment grandes, tandis que leui^s valeurs rtumériques croissent indéfiniment avec celle d'unemême variable x, peut être nulle , finie , ou infinie. Seulement, cette limite a un signe déterminé , constamment égal au produit des signes des deux quantités que l'on cour sidère.

Parmi les fractions, dont les deux termes convergent avec la variable cl vers la limite zéro , on doit placer la suivante

toutes les fois qu'on attribue à la variable .r une valeur dans le voisinage de laquelle la fonction /(x) reste contisàue. En effet , dans cette hypothèse , la différence

est une quantité infmiment petite. On peut mènve remarquer qu'elle est en général un infmiaient petit du premier ordre , en sorte que le rapport

/r.r-4- et) — f{x) a.

converge ordinairement , tandis que la valeur numérique de CL diminue, vers une limite iinie différente de zéro. Cette hmite sera, par exemple,

2 JT , si Ton prend f[^) = ^'^

et 3-, si l'on prend /(^i^) =■-.