I." PARTIE. CHAP. IV. »>v

deux fonctions Cp(^, 2/)' 4('^' 3^)» *^ ^'^" ^^^^^* qu'elles deviennent égales toutes les fois que les valeurs des variables .i- et y sont respectivement prises dans deux suites composées chacune de plus de n termes différens. On peut donc énoncer la proposition suivante.

1." Théorème. Si deux fonctions entières des variables s et y deviennent égales toutes les fois que les valeurs de ces deux variables sont respectivement prises dans deux suites qui renferment l'une et l'autre un nombre de termes supérieur aux exposans les plus élevés de x et de y dans ces mêmes fonctions, elles seront identiquement égales.

On en déduit, comme corollaire, cet autre théorème :

2/ Théorème. Deux fonctions entières des variables X et y sont identiquement égales , toutes les fois qu elles deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de ces variables , ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

Dans «ce cas , en effet , le nombre des valeurs de X et de y pour lesquelles les deux fonctions devixînnent égales est indéfini.

Il suit du théorème i ." que, si la fonction <p[x,i/) est supposée entière et du degré ?i — i par rapport à chacune des variables x et y ^ cette fonction sera complètement déterminée , dès que f on connaîtra ies valeurs particulières qu'elle reçoit, lorsqu'en prenant pour valeur de x fune des quantités

9G COURS d'analyse.

on prend en même temps pom^ valeur de y l'une des suivantes

yo, y,, y. .-• y«..

Dans la même hypothèse, la valeur générale de la fonction pourra être facilement déduite de la formule (i) du paragraphe précédent. En effet, si l'on remplace dans cette formule u par Cp,(^v y)? ^*^ ^^^ tirera

^l-^; y; - K-.ro(x„-x.)....(x.-a:„,) ^^«^o ' y;

fx— Xq) (x Xi). . . .{x — x„^) / \

"*■ (x„ -xo)(x„.-x.)..(x„,-x„j ^ v^n-^ ' y; ;

et l'on aura de plus , en désignant par m un des nombres entiers

, {y—yo){y-y^) (y— y,,-.) ^/„ ,, \

(y— yo)(y-yO----(y— y>-J ^/ n

■^(y„--yo)(y„--y.)"(y„-,-y«-J ^V^m^Vu-. h

On conclura immédiatement des deux équations qui précèdent la valeur générale de Cp(^, y). On trouvera , par exemple , en supposant ?i — 2 ,

Xo —Xi

' yo~yi

X —Xo

Xi — Xo

Vo-yi

y-Vo

Xq — Xi

V'—yo

y-yo