I." PARTIE. CHAP. IV

Il est bon de remarquer que la formule (8) subsiste dans le cas même où l'on suppose ?n=:o, et devient alors

(lo) O = -, -7 —^ r-

5. 2.* Détermination des Fonctions entières de plusieurs variables , d'après nn certain nombre de valeurs particulières supposées connues.

Les méthodes par lesquelles on détermine les fonctions d'une seule variable , d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues, peuvent être facilement étendues , comme on va le voir, aux fonctions de plusieurs variables.

Considérons d'abord , pour fixer les idées , des fonctions de deux variables a: et y. Soient Cf) (.r^ y), -v|/(jr, y), deux semblables fonctions, i'uneet fautre du degré n — i par rapport à chacune des variables, et qui deviennent égales entre elles , toutes les fois qu'en attribuant à la variable a; une des valeurs particulières

on attribue en même temps à la variable y l'une des suivantes

<p[^oi y) y 4'(*^û' y) seront deux fonctions de îa seule variable y , qui deviendront égales entre elles pour n valeurs particulières de cette variable. Par suite, (en vertu du 3.^ théorème , §. i •^'), ces deux fonctions seront constamment égales , quel que soit y. On aura donc identiquement

Cp(.r,, y) =z\[x,, y).

On trouvera de même

<?(-^. , y) = -|(^. , y), Cp ( j:, , y) = ^{x^, y), &c

D'ailleurs , les premiers membres des n équations précédentes sont autant de valeurs particulières de la fonction Cp(.r, y) dans le cas où l'on y considère jT seul comme variable ; et les seconds membres représentent les valeurs particulières correspondantes de la fonction -^^^^r, y). Les deux fonctions

Cp (^, y), -^{.r, y),

lorsqu'on y attribue à y une valeur constante choisie arbitrairement , deviennent donc égales pour n valeurs particulières de .r; et, comme elles sont toutes deux du degré ?i — 1 par rapport à .t , il en résulte qu'elles resteront égales, non-seulement pour une valeur quelconque attribuée à la variable y , mais encore pour une valeur quelconque de jc. Ou serîiit assuré, a fortiori , de légalité absolue des