I." PARTIE. CHAP. VI

Corollaire. Si pour la série { i ) on prend la sui\ante

fji désignant une quantité quelconque , la série ( 2 ) deviendra

Cette dernière est une progression géométrique , convergente lorsqu'on suppose /x, > i , et divergente dans le cas contraire. Par suite, la série (3) sera elle-même convergente, si //. est un nombre supérieur à l'unité ; et divergente , si l'on a yu, = i ou /x, < I . Par exemple , des trois séries

(4) I , -Ta- ' -T^ ^ ^.- , &C. . . . ,

îa première sera convergente, et les deux autre» divergentes.

4.' Théorème. Supposons que l'on désigne par L la caractéristique des logarithmes dans un système quelconque , et que, pour des valeurs croissantes de n^ le rapport

converge vers une limite finie h. La série (i) sera convergente , si l'on a h> \ , et divergente , si l'on a h< \ .

DÉMONSTRATION. Supposoiis d'aborcl /? > I , et choisissons à volonté entre les deux quantités i et h une troisième quantité a, en sorte qu'on ait

Le rapport — l" \ > o" son égal

finira par être, pour de très-grandes valeurs de n , constamment supérieur à la quantité a. En d'autres termes, n venant à croître au-delà d'une certaine limite, on aura toujours

OU , ce qui revient au même ,

et par suite

H en résulte que les termes de la série (i) finiront par être constamment inférieurs aux termes corres-