I." PARTIE. CÏIAP. VI

convergente toutes les fois que l'on aura k<i , et divergente toutes les fois que l'on aura k> i. Concevons, par exemple, que l'on considère la série

on trouvera

Un 1 . 2 . 3 .. .n (7i-Hi) n-4-1 ce

et par conséquent fa série sera convergente, ce que l'on savait déjà. . -.^

Le premier des dcu\ théorèmes qu'on vient détablir ne laisse d'incertitude sur la convergence ou la divergence d'une série doiit tous les termes sont positifs , que dans le cas particulier où la quantité représentée par k devient égale à l'unité. Dans ce cas particulier, il n'est pas toujours facile de décider la question. Toutefois, nous allons démontrer ici deux nouvelles propositions à l'aide desquelles on peut souvent y parvenir.

3^ Théorème. Lorsque clans la série (^\) chaque terme est inférieur a celui qui le précède , cette série et la suivante

(2) u^, 2 z<^ , 4 "3 » 8 z^7 , 16 u. , (kc...

sont en même temps convergentes ou divergentes.

DÉMONSTRATION. Supposons d'abord la série (i) convergente, et désignons sa somme par *\ On aura

%U^< 2 M^ -+- 2 Wj -H 2 W^ -H 2 W7 , &C ;

et par suite , ia somme des termes de la série (2) , pris en tel nombre que ion voudra , sera inférieure à

^^„-^-2^/J^-27^^-4-2M3-^-2M^-^-&c.... = is — w„.

Il en résulte que la série (2) sera convergente.

Supposons , en second lieu , la série ( i ) divergente. La somme de ses termes pris en très-grand nombre finira par surpasser toute limite assignable ; et , comme on aura

-HW,,

on devra conclure que la somme des quantités

prises en très -grand nombre finit elle-même par devenir supérieure à toute quantité donnée. La série (2) sera donc alors divergente, conformément au théorème énoncé.