I.“ PARTIE. CHAP. XI

sont évidemment indépendantes du mode employé Pour la décomposition de la fraction rationnelle y-fâ- ; d’où il résulte que cette fraction ne’ peut être décomposée que d’une seule manière en fractions simples qui aient pour dénominateurs les facteurs linéaires du polynôme F(x) avec des numérateurs Constats.

Il est aisé de voir comment l équation (7) et la formule (3) du paragraphe précédent s’accordent eptre elles. En effet, F, (.re) est ce que devient le polynôme •

F, & -H zF,(x.) 4- &C... = ,

forsqu’on y fait z = o , ou x~x0\ et par suite , si i°n pose

dn aura F-, (x0) = Cf> (x„) ,

Pour montrer une application des formules cidessus établies, supposons qu’il s’agisse de décomposer en fractions simples la fraction rationnelle

** désignant un nombre entier inférieur à m. On ,riura dans ce cas particulier

f{x) = xn , F{x) — xm — 1 » k =± 1 ;

376 cours d’analyse.

et r si ion représente par h un nombre entier q111 ne surpasse pas , les diverses racines de l’équ»' tiôn F Çv) =± o, toutes inégales entre elles, scron1 comprises dans la formule

rh * / — ■ ■ /l1r

cos. - ± Y - « sin. w ~ .

Soit a l’une de ces racines; et cherchons le nurnc rateur A de la fraction simple qoi a pour déno^1' nateur x — a. Ce numérateur sera

A — /(fl) — a’’- * '.y 1

A ~ ~Fl9) — F, (a) ’ *

la valeur de F, (fl) étant déterminée par lequatioB F (a) -+- z F, («) -+- &c. . . .

— F(oh~z) = {a-^zf— i = am— i -w» am~ ' z-h &c* •* ’

et par conséquent égale à On trouvera Pat

suite.

. jf

Comme on a d’ailleurs

/ iAt , / - . 2 A T \

(cos.__±/, — )

2h(n-t-i)v . y — . .iA(n-t-i)*

= cos. - - - - — =t ]/-i sin. - - -

0Ur

on conclura de ce qui précède , en faisant , P1 abréger ,