une fraction qui aura pour dénominateur k[x—xx) . (x

En continuant ainsi, on fera disparaitre successivement du polynôme

F(x) — k (.r— .rc) (.r— xt) . . . (x—xm,)

tous les facteurs linéaires qu’il renferme ; en soHp qu’on réduira définitivement ce polynorlie à constante k. Donc , lorsque , par une suite d$ décompositions partielles semblables .à celles ql*{ nous venons d’indiquer, oïl aura extrait de la »aC' tion -4—4- une suite de fractions simples de itl forme

*—'xÔ ’ x—x, ’ x— x, ’ x—xn^, 9

le reste ne pourra être qu’une fraction nUion,,( à dénominateur constant , c’est-à-dire , une lonct,<>1 entière de la variable x. En désignant par R cc>tl fonction entière , on trouvera

An A, A , , «

i*“ partie, chap. Xi. 373

Il leste maintenant à savoir quelles sont les valeurs dos constantes

Ces valeurs se déduiraient sans difficulté de la métliode de décomposition indiquée dans le premier paragraphe. Mais on parvient plus directement à leur détermination à l’aide des considérations suivantes.

Si l’on multiplie par F(jc) les deux membres de équation (3), on en tirera

x, jr — xm t *

S' <liln* los Jeux membres de cette dernière for- ^ule on fait

*R somme

+ -+.A.LÏL + ... + A '

(l,u est évidemment un polynôme en .v divisible par * prendra la forme

^ désignant une fonction entière de z; et l’on aura l)ar suite

(5) &*.**) = A.i&±±+zZ.

374 cours d’analyse.

Supposons maintenant que fa substitution de x-*-* au lieu de jc dans la fonction F (a:} donne généra' fement

(6) F{x+z)'= F(x)+zFp)+zx Fp)-*&t-

On en déduira

F (xPz) = z F p 0) ■+■ z\£x (x0) h- &c... \ et ï équation (5) deviendra /(.r„-4-s) yl„[ F, (.!•„) + +

Lorsqu'on fut dans c.ett. dernière 3—0 , elle se te duit à-

/W=Af,W;

et Ton en conclut

On trouverait par un calcul entièrement semblable

4 ’i- SJP-L

Les valeurs qu’on vient d’obtenir pour