SIU. - I

et par suite [ en supposant la valeur, numérique de z inférieure à 7 t , et le nombre m égal ou supérieur à 2]

m sin. — cos. —

LiLLziL J..Æü\

m ) \ m ) ( un J

Soient d’ailleurs n un nombre entier inférieur à ^ m , 1 du une quantité moyenne entre les rapports

et i -+- C une autre quantité moyenne entre les ex pressions

Le second membre de l’équation (12) sera évidemment la somme des deux polynômes

dont le premier pourra être présenté sous la forme tandis que le second prendra celle du produit

z , /n-M. TX1

si,^v . I » / , » v m^L + ...

-pry (-+.)■ (»+*)■ sin..£±î2r

, : — v . 7 ■ <■ (i-hc)

que Ton peut réduire ( en vertu des principes établis dans la note précédente ) à

Cela posé , Icquation (12) deviendra

m sin. — cos. — ■ m m

sin.1 — ■

et l’on en conclura, en faisant, pour abréger.

(«4) /tV ■+«

Ss-v-6+>)".

puis, revenant

des logarithmes aux nombres,

Supposons maintenant que, la valeur de n étant choisie arbitrairement, on prenne pour '-m le nombre entier immédiatement supérieur à«J (a désignant un nombre fractionnaire ou irrationnel compris entre i et 2 ). Lorsque la valeur de n deviendra très-considérable , les quantités

— , ~^r > C, y, «T seront infiniment petites, le produit

sin. -

m sin. — co«. — - - z cog. —

différera trcs-peu de z, et par suite le second membre de l’équation (15) s’approchera indéfiniment de la limite

Le premier membre devant converger vers la meme limite , on aura nécessairement

Cette dernière formule se trouve ainsi démontrée dans le cas où la valeur numérique de z reste inférieure à tt. Alors les quantités dont nous avons pris les logarithmes sont toutes positives. Mais la démonstration donnée subsiste également pour des valeurs numériques de z supérieures à m , lorsque l’on convient de remplacer le logarithme de chaque quantité négative par le logarithme de sa valeur numérique. En conséquence, l’équa-

NOTE rx.

tion.(i 6) demeure vraie, quelle que soit la valeur réelle attribuée à la variable s. On ne doit pas même excepter le cas où l’on supposerait

Z === dt À 7T ,

le désignant un nombre entier quelconque , puisque dans cette hypothèse , les deux membres de l’équation s’évanouiraient en même temps.

L’équation (16) une fois établie en fournira immédiatement plusieurs autres. Ainsi , par exemple , on en tirera, pour des valeurs réelles quelconques des variables * > y , z,

<-*X-+X-*X-*X-fX-*)**

y v*—y) \T+yj A y*— y

Si dans l’équation (17) on fait z = — , on trouvera

et par suite on obtiendra le développement de ~ en facteurs , découvert par le géomètre Wallis , savoir ,

On trouverait de même, en faisant

(ao) ~=-±.±.±.

Si dans I équation (18) on pose à -la -fois

on en conciura

('-SX-ïX'-SX'^X'^X'vK--

=('- v) ('~Pp) ('-&) &c .

On pourrait déduire directement la même formule de 1 équation ( 1 5 ) ou ( 1 7) [note précédenté] , en y remplaçant z par - , puis faisant converger le nombre m vers la limite 00. Observons enfin qu'on tirera de l'équation (1 6) , en y supposant la valeur numérique de z inférieure à w ,

Comme on a d’ailleurs, dans cette hypothèse,

NOTE JX.

— V'r^rr^-kc

-t G xî)‘(-tî— .

et par suite [ en vertu des principes établis dans le chapitre VI et dans la note VII ]

î J 2**6 - Sec.. . ;

la comparaison des coefïiciens des puissances semblables de z dans les formules (22) et (^4) donnefa les équations

JT1

St*

dont la première s’accorde avec la formule (28) de la VIII.e note. Les facteurs numériques ÿ, —,

&c. . . . qui entrent dans les seconds membres de ces équations, sont ce qu’on appelle les nombres de Bernoulli. Ajoutons que , si l’on désigne par 2 m un nombre pair quelconque , on aura généralement

(-6) i -Fp 4- ~h &c. .

Dans ce qui précède , nous avons seulement considéré des produits dont tous les facteurs étaient des quantités réelles, et des séries dont tous les termes étaient réels. Mais on doit remarquer, 1 .° quen vertu clés principes établis dans le chapitre IX [voyez Iequation (37) du §. 2 , et l équation (26) du §. 3] la formule (5) subsiste dans le cas même où la variable x devient imaginaire , pourvu que son module reste inférieur à l’unité ; 2.0 que le rapport

converge vers l’unité, toutes les fois que la valeur réelle qu imaginaire attribuée à la variable z s’approche indéfiniment de zéro ; 3.0 enfin que les équations (1 5), (16), (17) et (1 8) de la VHI.C note subsistent également pour des valeurs réelles et pour des valeurs imaginaires de Z. En partant de ces remarques , on parviendra bientôt à reconnaître comment on doit modifier les propositions et les formules ci-dessus démontrées dans le cas où les expressions

uof m, , ui , &c - x , y, z,

deviennent imaginaires. Ainsi , par exemple , on établira sans peine , à l’aide des formules (6) la proposition suivante, analogue au 1." corollaire du théorème 1 .er

2* THÉORÈME. Supposons que la série (1 ) , étant

imaginaire , demeure convergente quan d on réduit, ses dijférens termes à leurs module? respectifs. -Le produit ( 3,) convergera nécessairement , pour des nvoleurs croissantes de n , vers une limite finie réelle où imaginaire. ,

De plus , on prouvera facilement que les équations (17;) et (2, 1) subsistent, lorsqu'on attribue à z -une valeur imaginaire .quelconque u -+- v — * »: d’où il .résulte , i .° qu’on peut exprimer par des produits composés d’un nombre infini de facteurs les expressions imaginaires 1 * •

■ cos. ,

l , >(15 nO

- sin. w./ZT,

et les carrés de leurs modules , savoir*

( {e\+c~v\x . f ey — e-“v\* : clv+e~ir

\ ( — : — ) sm. tt-M - ) cos/mzs, - cos. 2 u ,

( (^)eos