PARTIE. CH AP. II

appose « = ± m (w désignant un nombre entier), k fonction simple

^dmet constamment trois valeurs singulières, savoir,

lorsque | m étant un nombre pair ( — 0c)m = 00 , Qm=0, 00m=00 , a5=-+~m | m étant impair (— 00)m= — OC, 0m=0, CCm=00 ,

ct lorsque j ” iant Pa!r (~00)"m=0, 0“m=00, OO- m= O,

a = —m | m étant impair ( — OC)“’”==0 » ((o))“m==tOO , OC~m=Q.

Considérons maintenant les fonctions composées d’une seule variable x. Quelquefois il est aisé de Couver leurs valeurs singulières. Ainsi , par exemple, SI fon désigne par k un nombre entier quelconque , Gn reconnaîtra sans peine que la fonction composée

sin. x *

tanG- * =

* ses valeurs singulières comprises dans les trois *0rmulcs

tang. ((oo))=yW((-o^^ Cû)) , tang. (^x * T=t -^j)=±oo , tang. (( çc)) = 7Pf(C-À- OO , -+■ oej) ;

tmulis que les valeurs singulières de la fonction Averse

arc tang. x = arc sin. -

sont respectivement

arc tang. ( — CO) = - , arc tang. (oo) = — ■

Mais souvent aussi de semblables questions pré-

48 COURS d’analyse.

sentent de véritables difficultés. Par exemple, on n’aperçoit pas immédiatement comment on peut dé* terminer la valeur singulière de la fonction

lorsqu’on y suppose x= o ; ou celle de la fonction æ~r »

lorsqu’on prend x=oo. Pour donner une idée des méthodes qui conduisent à la solution des questions de cette espèce , je vais établir ici deux théorèmes à l’aide desquels on peut, dans un grand nombre de cas , déterminer les valeurs singulières que reçoivent les deux fonctions

lorsqu’on y suppose x^oa,

l.er Théorème. Si, pour des valeurs croissantes de x, Ici diff'erçft&û aiino sthqram

converge vers une certaine limite k, la fraction

convergera en même temps vers la même limite.

Démonstration. Supposons d’abord que la quantité k ait une valeur finie , et désignons par e un nombre aussi petit que l’on voudra. Puisque des valeurs croissantes de x font converger la différence

*•“ PARTIE. Cil A P. II. 49

Vers la limite k, on - pourra donner au nombre h ^ valeur assez considérable pour que , x étant *gaI ou supérieur à h , la différence dont il s’agit SOlt constamment comprise entre les limites °

Ce,a posé , si ion désigne par n un nombre entier Quelconque, chacune des quantités

f(A + n) — f (h-+-n — i ), par suite leur moyenne arithmétique, savoir,

../(/h-*) ~/fopoq<

v ' aab «i . ■ ^ < s&’.ai/, *, < , ,

trouvera comprise entre les limites k— g, k-he. 1 aura donc (^)\- ( t +*,)\

* etant une quantité comprise entre les limites —g ,

fc Soit maintenant

e<luation pièrédtnte deviendra

çt r •/

011 «n conclura v i TOM. 1.

cours d’analyse.

De plus, pour faire croître indéfiniment la valeur de .r, il suffira* de faire croître indéfiniment le nombre entier n, sans changer la valeur de h. Supposons, en conséquence, que dans l’équation (2) l’on considère h comme une quantité constante , et x comme une quantité variable qui converge vers la limite 00 . Les quantités

renfermées dans le second membre, convergeront vers la limite zéro , et le second membre lui- même vers une limite de la forme

k -H CL ,

cl étant toujours compris entre g et -h g. Par suite, le rapport •

aura pour limite une quantité comprise entre /c — i et k -h g. Cette conclusion devant subsister, quelle que soit la petitesse du nombre g, il en résulte qu^ la limite en question sera précisément la quantité k- En d’autres termes , on aura

( 3) lim- %L =kz= lim- [/(*-♦- 1 )-/(•'•)]•

Supposons, en second heu, k=oo . En désignait alors par // un nombre aussi grand que l’oii voudra»

I" partie, chap. Ii. 5i

0fi .pourra toujours attribuer au nombre h une valeur assez considérable, pour que, x étant égal ou supérieur à h f la différence

^UI c°nverge vers la limite èo , devienne constamment supérieure à H ; et, en raisonnant comme ciessi,s , on établira la formule

/(*:+-») — /{h) TT - -

p1 ,Tlaintenant on pose v, on trouvera, au

eu de 1 équation (2), la formule suivante

J,e laquelle on conclura, on Ûisant converger x vers * «mite 00 ,

* f jo

limite du rapport

*^a donc supérieure au nombre H, quelque grand d “ soit. Cette limite supérieure à tout nombre s,gnable ne peut être que fin fini positif.

<j Apposons enfin k = — 00. Pour ramener ce

L ‘!!!fr cas aa précédent , il suffira d’observer que, nilierence

■^ant pour limite *-* 00 , la suivante

52 cours d’analyse.

[-/(«"■)]- [-/<*)] aura pour limite -+-00. On en conclura que la limité de ” est égaie à -4- oo , et par suite celle de

/IfLà-cc.

Corollaire i.er Pour montrer une application du théorème précédent, supposons

L étant la caractéristique des logarithmes dans un système dont la base surpasse l’unité. On trouvera

et par suite

On peut donc a^irmeiîque^^ venteitliîcroîtffc'ïndéfmiment, fc ràppûrtt >iniini tnoi/ob {^)\ noiîDfio f td v ijjoqz^iï Jwtesi noitono) 9U90 v

niffil juoq o'iss lltammobivs lijriijf Ü — .i f

convergera vers la, limite zéro : et U en résulte que*

& v- , ,-jji ‘jrn'jriO'jflJ ni; ,*?j -, „ «

nw système dont la base est supérieure a lU‘ .j j 30 iusujsv ifl <?;;) aTic !

7u/e, /es logarithmes des nombres croissent beau '

£02/^3 moins rapidement que tas nombres euæ-mèincS' Corollaire 2.‘ SupposoAs^çp seepud lieu ,

.3K3RQ ,j'A

A désignant un nombre r -supérieur à l’unité. O*1 trouvera * \

f(x + i)—f(x)z^Ay — A*=A*(A — 1),

!•" PARTIE, chap. II.

et par suite

fi=A«>(A-i)=oo 0 ' n peut Jonc affirmer que, .r venant à croître indé- Iïiunent » le rapport m

n'eige vers fa limite oo ; et if en résulte que l '*ponnnticlfe a* , lorsque le nombre a surpasse Wë, fait par croître beaucoup plus rapidement *Ue la variable x.

Corollaire On doit observer, au reste, ^ , n’y a fieu à chercher par le théorème i.er la aHJur du rapport

x v OO f

^rresPon^ante ài^f^ oo , que daus le cas où la s Action f(x) devient infinie avec la variable .r.

Cette fonction restait finie rnour x=oo , le ranport /"(*).,. ^

"T- aui*ait évidemment zéro pour limite.

Je passe au AéorèmeqÜÎ sert à déterminer dans r ‘isieurs cas la valeur de

r/wr

r 2*= oo. Voici en quoi il consiste :

Pou, / H^RÈME- & > la fonction f[x) étant positive r de très-grandes valeurs de x,.le rapport

Verge, tandis que x croit indéfiniment , vers fa

54 cours d’analyse.

limite k, V expression

convergera en même temps vers la même limite.

Démonstration. Supposons d’abord que la quantité k, nécessairement positive, ait une valeur finie, et désignons par g un nombre aussi petit que Ton voudra. Puisque des valeurs croissantes de X font converger le rapport

vers la limite k , on pourra donner au nombre h une valeur assez considérable pour que, x étant égal on supérieur à hy le rapport dont il s’agit soit constamment compris e.ut^^Ji^e^jj^,,

k — 6 * k -t- g. f jiihiiiuu t\>

Cela posé, si Ion désignp p^pyu^i nombre entier

quelconque, chacune des quantités

• • ^'ravnoj ,o!dmoin Luoooe ol gnsb goorrrr- •

flk r-h») f i , f[h-ho)

. oiyiol ,id. ob niiiné .

et par suite leur moyenne géométrique, savoir.

'/(Af* tqjrio*) nnojub) J ms

se trouvera comprise entre les Uhiite^ > le -t-0* On aura donc

- et v 1

«t étant une quantité comprise entre les limites — * * c . Soit maintenant