I " PARTIE. CHAP. II

'"'t pour limites respectives

tiorT ° 1> US S°UVent k V®lcm' d’une fonc-

détl!! P US,eUfS vanablcs ne peut être entièrement * nmee «,ue dans le cas particulier où, en faisant

ti J erger ces variaMeS Vl-’1S leurs limites respecta,,?’ °B ét#bl,t entre clles “daines relations; et, sir,, TC 068 relation*’"e ««t pas fixées, la valeur 8" iere dont il s’agit est une quantité ou tonnent indéterminée , ou seulement assujettie à ter compr.se entre des limites connues. Ainsi,

lié?8*! 08 ? r™';,r'l"é l,l,ls haut, la valeur singuinj e a laquelle se réduit le rapport de deux variables

fiai ,m?rtpetItes’ dans le ^ 00 chacune de ces va- (f,,i„CS S ■T™*; Peut u,le quantité quelconque Val ’ n" 0 ou ,nf,n,e- Ën d’autres termes, cette Si singulière sera complètement indéterminée, i',,,’,'.'!. Ieu <c deux 'ai’iatiles infiniment petit*», on S,< crc deux variables iiiltnnnînt grandes on 'H.vci.a qùe le rajijiort de cornières, ta’ndis t*JÜrS Va,CUI S croissent indéfiniment ,

posit ge e"f0re Ve* U1,e haute arbitraire , mais «ont 7°l"',,Sat,ve-> suivant qu tries deux VariaWes «Rai,. 6 me8'C Slg,!e °w de ««“0» contraires. Il est v?i, h-lc dp s'assurer que le produit d’une ,, abje lui.,,, eut petite par une variable infiniment

“"déterminée lm'te ^ qUant‘*é COIUPlétc‘‘nent Afin de présenter une deuiièr» application des

cours d’analyse.

principes qu’on vient d'établir , cherchons quelles valeurs il faut attribuer aux variables x et y pour

m sdwi

nmd uo , i 1 9^? eaaifcztx9 *y*?W* f>l ‘ "

devienne indéterminée. Si Ton désigne par A -n nomlu-e supérieur à l’unité, et par L In cnir-r j ristique des logarithmes dans lé sy’stèdife dont la bas* est A, oh aura évidemment*

aK v y riAinrq èihniîup xhu ins*''

• ?Kt

et pal' suite

yT = A”7"'

Or, il est clair que l’expression , ,y)Jfï9

j* o vûiluoiJiüq iiobfib1

convergera vers une dirfiité indéterminée , lorsqu*

ie, rapport .vn inp nobonol otïu îhirr<jfeob (x)\ j n j , ,D” ;ii i f { j i ; ! A AM v sldidnw b1’ ooyJ} înor^ çjr. ül sup ‘^oifo oiJub îmhù ii

convergera lui-mème vers une semblable limite, c qui arrivera dans deux cas diflMns, savoir, i ° \ti& que L (y) et j: .seront deux

petites,

limites respectives o *

seront deux quantités infiniment grandes , cest . dire , lorsque x ayant une limite infinie, ^

limite o ou oo. Il est bon <f observer que, dans V*

et l’autre cas f k limite indéterminée de l express^

l.*s PARTIE. C1IAP. U.

&era nécessairement positive. Il peut même arriver que cette limite soit assujettie à demeurer comprise entre les valeurs extrêmes o et i , ou bien entre ta suivantes,, 1 êt po. Concevons, par exemple, que chacune des variables .r et y converge vers la limite oc . Dans ce cas , la limite du rapport L (.y)

étant une quantité positive quelconque, celle de

V ï ilOj * , .

= A * ne pourra être quunc quantité

Moyenne entre i et oc/ Cjette moyenne sera d’ail-

l°ürs indéterminée , tant que l’on n’établira pas

€ntrc les variables infiniment grandes .r 'et y de

dation particulière. Maik~si £on suppose

« âanifn 9flu èio t im^'îQTüoa

*{&). désignant une fonction qui croisse indéfini ^ent avec la variable .r,1 alors la moyenne dont il s agit , n étant autre chose que la limite de

? ^imil oldfildrwoiî omr omsrn-iul

£î;ï ,*o|/lS*>.î* «uab «iWi™ lup

°^fi[éh’déâ Une Vâlëùr4déterraltrée, que Ton pouira éaléuWV l’aide du thébrème 2.e

?i > au lieu de la fonction y * , on eut considéré

L Jr Y' < e^Ifrnhs tHorminini ^

k>V^ute

11 ‘ 5Or:b fgup i9Tidpd V fort };: II > l > ~ ;

aurait trouvé que cette dernière devient indéter-

68 cours d’analyse.

minée , i .* lorsque la variable y converge vers la limite -a *^et & variable -ssc-vers. tune des suivantes, - OO . + OO ; .Î,° lorsque, la variable x ayant zéro

{( JC a , OO — 2 Jïfs =F OO*- x O SS= CO xo . O ~ o ^ c .

nour limite, y converge vers zéro ou vers iintinl

' çb.rr ~ oc > oo . co S.- oc — * oo - = oo * oo\

positif.

Quelquefois on rencontre dans le calcul des expressions singulières qui ne peuvent être considérées qtie comme des limites vers lesquelles convergent des fonctions de plusieurs variables , tandis que ces mêmes variables deviennent infiniment petites ou infiniment grandes , ou même frpluscgénéraiement , convergent vers des limites fixes. Telles sont , par exemple, les expressions ao '• ° °°~ °( ,

OXOtffoJc, *0X0°, .%* OX.ao r QÜj. F* ,

parmi lesquelles on doit regarder les deux premières comme les limites vers lesquelles convergent le produit et le rapport de deux variables infiniment petites , les deux suivantes comme les limites du produit et du rapport de deux variables positives infiniment grandes, &c. ... Si l’on considère en particulier le* expressions singulières que produisent les fonction*

*y> y. -yx> y*$

on trouvera que les valeurs de ces mêmes exprès* sions, lorsque les variables restent indépendantes» peuvent être aisément fixées par ce qui précède. L®* équations qui serviront à déterminer ces valent* seront respectivement