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<7 tLfeS dWe!?*S cspècrs de quantités réelles ‘ °n cons'dere, soit en algèbre, soit en trigonométrie, et des notations à l’aide desquelles on
GS 1cl)resente. Des moyennes entre plusieurs quantités. 1
etl-f *t°lUe ?pèce de confusion dans le o g écriture algébriques, nous allons fiïM.
ans ees préliminaires la valeur de plusieurs ter, nés
iSSCrr qUC,,ÜUS gunter™
Les exulif na‘re’ SOit a la trigonométrie,
sont nécessa *°nS qUe '‘°US donneron» lV ce sujet d’être nard rs’ P°Ur <|Ue "0US ayons la certitude ouvrage nI T £°mpriS dt‘ cc,lx ‘lui liro»‘ cet H nous n ! a"0,1S hldillUei' d'abord quelle idée
mots nom/ C°nvenable d’attacher à ces deux jy ’ nomljre et quantité.
tom Prendr0ns toujours la dénomination de
2 cours d’analyse.
nombres dans le sens où on l’emploie en arithmétique, en faisant naître les nombres de la mesure absolue des grandeurs; et nous appliquerons uniquement la dénomination de quantités aux quantités réelles positives ou négatives, c’est-à-dire, aux nombres précédés des signes -+- ou — . De plus, nous regarderons les quantités comme destinées à exprimer des accroissemens ou des diminutions; en sorte qu’une grandeur donnée sera simplement représentée par un nombre, si l’on sc contente de la comparer à une autre grandeur de même espèce prise pour unité , et par çe nombre précédé du signe -h ou du signe — , si on la. cpnsidère comme devant servir à racornissement ou à la diminution d’une grandeur fixe es¬
pèce. Cela posé, le signe -t- oi^— j)Ia^ devant un nombre en modifiera la simiif iq^tiqd> ^-pep-près comme un a^ecyP^d^cdle^u Nous
appellerons valeur miméy(fueu ^jje, quantité le nombre qui en fait la base, quânfjtés égftlç^. celles qui ont le même signe avec la mep^e^afpur numérique , et quantités opposées deux quantités égales quant à leurs valeurs numériques > ipais affectées de signes contrâmes. En partant de ces principes, il est facile de rendre compte des diverses opérations que l’on peut famé subir aux quantités. Par exemple , deux quantités étant données, on pourra toujours en trouver une troisième qui, pripq pour accroissement d’un nombre fixe, si elle qst positive, et pour diminution dans le cas contraire, conduise au même
, préliminaires. 3
SfïTrï^ qUa'Ui^ employée^
quantité, qui réll, .'seule"1 “JT.’ ^ “oisié'»o
les deux autres est ce P?*h"t ^njçmeeffijt que Ainsi ,cs dÏ’g^r appelle leur somme — t at*nn r , 1 ° et + 7 ont noue
tes, jointe I une <1UU''e *“*>**»> (,c io univaut à Z 2;L7‘'7Uli0n dC 7 • éqni-
quantités, c’est former U 3 ""'LCS' AJm,U'r deux entre une première , . * soluu*e- La différence
une troisième e.‘ ,l,le seconde, c’est
reproduit la première. JfcÇîJtA U secon<Ie'
t(te CSt plus avnnJ / ’ ° ^Jt UI>C <Ju»n-
suivant quc °U W?. Pclile qu'une autre ,
'“qua-ttités jASS» ct:Kc définition ,
Comme on est convenu de ’ JW1' <!es le“*’.es. absolus dans fa classe des ldU^r M nombres
P**»- ou
numérique le «ombre A T° ^ > 1>°W Vlllcl,r seulement, tandi7quef/ soit par A
se trouve représentée W<**
< as ou la lettre a leur/ . • ° mélnc> dans le
convenu de regarder c "* •«**. est expressions « et I * V? S-V"°"-Vmcs V» deux + “’ ct de représenter par*
4 cours d’analyse.
la quantité opposée à -h Ces remarques suffisent pour établir ce qu’orf appelle la règle des signes [voyez la note Uf’ijb
Ôn nomme quantité variable celle que l’on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres. On désigne une semblable quantité par une lettre prise ordinairement parmi les dernières de l’alphabet. On appelle au contraire .quantité constante , et on désigne ordinairement par une des premières lettres de Falph abet toute quant if p qui rc<;pjt .pnc valeur fixe et déterminée; Lorsque des,, yalcmrs successivement attribuées à une même Ygr^bjç s’qpprocïicnt indéfiniment d’unè wiieUt mgjpèçe (à 'finir
par en différer aussi peu ^ue^n^^a . çèjte dernière est appelée la;
Ainsi , jpâr exempt, nttn, tfomhqp , fpqpelj est la limite des diverses ^^ou^senffdes
valeurs de plusi«iipW»Wjfifh^S^n géométrie, la surface du cercle est la ^tÇhtfef^^^(fn£?n; vergent les Surfaces .des poly goi^^ Mflgpjs ? Tjànd# que le nombre fie leurs cotés çrqtt ^jdus;
&è. !,>t! u-’* 3*>dmort Un. lût] li • ■rmmxvtq/ i
Lorsque les valeurs numérique^ ^cq^ssives d une même variable décroissent indéfiniment, de manière à s abaisser au-dessous de tout npmbrq donne , cette variable devient ce qu’on nomme un infini me ni petit ou une quantité* variable de
cette espèce a zéro pour limite.
Lorsque les valeurs numériques successive*
<J une même variable croissent de plus en phis , de manière à s’élever au-dessus de tout nombre donné, 011 dit que cette variable a pour limite, Xinfini positif, indiqué par le signe oo , s’il s'agit.- d une variable positive , et \ infini négatif, indiqué par la notation — oo , s’il s’agit d’uiïe variable négative. Les infinis positif et négatif soiit désignés conjointement $ous le nom de quantités infinies.
Les quantités qui se présentent, dans le calcul, comme résultats d’opérations faites sur une ou plusieui s autres quantités constantes ou variables , peuvent être divisées en plusieurs espèces suivant la natuie des opérations qui les produisent, C’est ainsi que Ion distingue én algèbre les sommes et dilïer?;n^e^ ’ ^es prddiiits et qtiotiens , les puissances et racmes^ lés exponentielles et les logarithmes ; en cosinus, sécantes, et co- S^aJÎf « ^tuebtahgontçs , et les aies de
cerefe (Jodt’tibe fierté 1 frjgtrnoalf taique est dounée.
^èrWjtrèbJdrè^ qui est -relatif à ces <|prnier^> é ' jl - est nécessaire de se
ramielft! fès^n&jœjl âtvtofosdrijo ub
"nc liS,M' tif-ile ou courbe', ^yutMg.iëomme toute espèce dem andeurs, représentée soit par un nombre, soit par une quantité, sa voip? paf Ünncmbre, lorsqu’on a simplement égaid a la dfëàliPè^ de cette longueur , et par une quantité , c eit -&‘I cîirév par un nombre procédé du f o^ l’on considère la longueur
ont il s agit coiiime portée , à partir d’uu point fixe* ■otimil moq oiàs a 9 vu a 89opiiomun emoUv
6 cours d’analyse.
sur la ligne donnée dans un sens ou dans un autre, pour servir soit à l’augmentation soit à la diminution d une autre longueur constante aboutissant à ce point fixe. Le point fixe dont il est ici question v et à partir duquel on doit porter les longueurs variables désignées par des quantités, est ce qu’on appelle l 'origine de ces mêmes longueurs. Deux longueurs comptées à partir d’une origine commune , mais en sens contraires , doivent être représentées par des quantités de signes différons. On peut choisir â volonté le sens dans lequel on doit compter les longueurs désignées par des quantités positives ; mais, ce choix une fois fait, il faudra nécessairement compter dans le sens opposé les longueurs qui seront désignées par des quantités négatives.
Dans un cercle dont le plan est supposé vertical , on prend ordinairement pour origine dés arcs I extrémité du rayon tiré horizontalement de gauche à droite; et c’est en s’éle vaq de ppjnt que Ton compte les arcs positifs, c’est-à-dire, ceux que l’on désigne par des quantités positives. Dans le même cercle, lorsque lé rayon se réduit à l’unité, le sinus d’un arc, c’est-à-dire, la pMjCttfibtt éfir le diamètre vertical du rayon qui passe par l’extrémitc de cet arc , se compte positivement de bas en haut et négativement en sens contraire, à partir du centre du cercle pris pour origine des sinus. La tangente se compte positivement dans le même sens que le sinus, mais à partir de l'origine des arcs et sur la verticale menée par cette origine. Enfin , la sécante
préliminaires. 7
• e compte à partir du centre sur le rayon mené à extrenuté de l’arc cpie l’on considère, et positivement dans le sens de ce rayon.
Souvent le «^‘H’une opération effectué.! sur quantité peut avaji- plusieurs valeurs differentes
„ l,nrjS.<IpS !"'trcs- ^ nous voudrons designer indistinctement une quelconque de ces valeurs,
nuantv"S Sm"'0ns dc "«'••liions dans lesquelles la
SSpXffî* *•*■» ‘f. - d«
ordinii'ro / ’ Ct nous r<' server on s la notation
&sim,,,c ,,H ^ r
nqueme u**™ fJeilx va^eurs numé-
l’une * M Æ ' S u mniS (U' contraires , dont
,,1C (luc COi,*l,îe sera exprimée par la notation
°'u ^norr((>te^x,w,|
' ■ ■ Riiubai 3?
en sorte
»q âbJitruwn . .
^ M,Wh
°U’ Ce T" «-■vient au même,
ti«î3SSf 5 S rep,'éSOn‘C P » 1"àn-
Positive ou négative, la notation
are sia '« otlo > tsf)
“• tiL'g. '$,))
8 cours d’analyse.
désignera un quelconque des arcs qui ont la quantité a pour sinus ou pour tangente, tandis que la notation
- & «wiwmb $1 aup ,
arc sin. ( a ) OU arc tang, (<z)
indiquera seulement celui de ces arcs qui a la plus petite valeur numérique. A l’aide de ces conventions , on évite la confusion que pourrait entraîner l’emploi de signes dont la valeur n’aurait pas été déterminée d’une manière assez précise. Afin de lever à cet égard toute difficulté , je vais présenter ici le tableau des notations dont nous ferons usage pour exprimer les résultats des opérations algébriques ou trigonométriques. . tnenotniam tn«
La somme de deux quantités sçjjf iptliqqée ^l’ordinaire par la ^g^eux quantités,
chacune d’elles étant exprimée par une lettre précédée du sigiie -+- ou L- r Vpieyi’on pèurra Supprimer (si c’est le signe loU,c seu'
Iciiunt. Ainsi uq j. K ,rl(lmof, 0, h- a -h b ou -sim > q^h k
désignera la somme des deux quantités a , -+-b; et
-*-a—b ou simplement a — b
désignera la somme des, deux quantités -\-a. —b, équivalente à la différence des deux quantités a ,
-v- b. enoitafi 1T xu
On indiquera légalité des deux quantités a et b par le signe ~ interposé entre elles , comme il suit.
e* Ion exprimera qiie (a première surpasse la seconde , c est-à-dire , que la différence a — b est positive, en écrivant
a > b ou b < a:
Nous représenterons encore à l’ordinaire par ^-ax-^b, ou simplement a.b, ou ab le produit des deux quantités -+-a,+b;e t par
OU a : b
leur quotient.
Soient maintenant m et n deux nombres entiers,
A s .U. tâiiiwi . ’
quantités
i obtient respecti-
• m ?, b deux
quelcBn^iés positives ou'rtégtdîres.
i "''2' 9ÎllV«q V.ll.i ,
"iqri vni4q Itn! $fqT, , Ah
rcpréseiïlcr<4iW,lèï'lqfi!idtHiS’^)0sitives qu’o
6 evant 1° nombre A à des puissances veinent màrquéefc* par* les exposait*
et
la quantité positive on négative que produit l’élé- J °n de ,a quantité a à la puissant ±m. Quant au* notations
nous nous en servirons pour exprimer non-seulement les valeurs positives ou négatives, lorsqu’il en existe, des puissances de la quantité a marquées par les exposans
mais encore les valeurs imaginaires de ces mêmes puissances [voyez ci -après, chap. VIT, ce qu’on entend par expressions imaginaires ]. Il est bon d’observer que, si l’on désigne par A la valeur numérique de a, et si l’on suppose la fraction réduite à sa plus simple expression , la puissance
aura une seule valeur réelle posi^yç, , .négative,
savoir ,
ÿl SJ
lorsque ^ sera uDelractifon de tfeuoinipatenr impair; tandis quelle admettra- les dêux réelles dont
on vient de parler; ou quelle n’en àtlrùèttni aucune, si — est une fraction de dénominateur pair. On peut faire une semblable remarque à l’égard de l’expression
• ufc.erm (H-upno)loup ku ukh m
Dans le cas particulier où, la quantité a étant positive, on suppose Æ- 'fe 4^, Impression ({«)) » n’a
préliminaires. 11
T)ar I- X Va^urs belles 1 une et l’autre, et données
par 1 ormu e (2), ou, ce qui revient au même, Par la formule,^).
Les notations
fVkM*). &c....
tliiré!ens°nt V lo»antIln,cs réels du nombre B dans vaiïtes s^s cmes ; tandis que chacune des sui-
!rn,ogfthmc f
SS?!' f - rr;r-“
ririimcs imn • • 1 * T (luon entencI par loga-
"cs lmaginaircs ]. 0
E" tr,goiiométfiè ;
C“-a' cosec. <7,
siv- a> cosiv. a
,c ;««w, le cosinus,
If ?!^ W let2S veZTdJ i*Jc*CaT
notations e arc aï et les
4rC Si"' arC C0S- «» *" '»"*• H, arc cot. ((„)),
jn I; “rCSe'c- ((«))• «ce cosec. ((4 ,•
~ntplr,f0nque "eSa,CS 1* o- 'a
011 '.Ongomc O" OngeLie,
COURS d’analyse.
arc sin. (a) , arc cos. («) , arc tang. (fif) , arc cot. (a) * arc séc(tf) , arc cosec. («) ,
ou même, en supprimant tout-à-fait les parenthèses» des notations suivantes
arc sin. a f arc cos. at arc tang. a , arc cot. a , arc sec. a , arc cosec. a ,
lorsque, parmi ies arcs dont une ligne trigonomé' trique est égaie à a, nous voudrons désigner celui qui a la plus petite valeur numérique , ou , si ce* arcs sont deux à deux égaux et de Signes contraires» celui qui a la plus petit? valeur jppsit^e. En coO' séquence ,
arc sin. a , arc tang. (I , arc cot. a , arc coséc /. a ,
indiqueront de$ arcs positifs du tidéaiifë ' hrdis fcorn'
pris entre les. limites !. ^ <0Xf* otinad I
u >ef> *>3 jrroo ç'giôirnoitxeq noitnton onn i£(f f
— ^ hiB'jaiq as MgaoTji 1
•7V désignant la d e m i - c iVcôfi fé r e n c e dans le cercfc qui a pour ray on l’unité ; ,tM&dis,fmft.fJp &\ ias$^f ' } imêM'fyp >ihruii r eioî
i n d i q uc r ont.d?^ positifs compris Ji^elÊs limite*
ttytâlfthuM .piiffs asffcr mu aol eatnoiÿïlib %>iïrai}3
En vertu des CQnv/çutionç obvient \\ établit si l’on désigne pai; , 00
aura évidemment , pour des va^rgj( quelconque* positives ou négatives de U 9Up
1 wùv&À fJO svijieoq of darne/ sauup . '1
arc sin. ((a)) =e:-^-;- =fc(^ — arc sin* «) ± 2 A’TT ,
J arc cos.
(3)/ arc tan«- ((«)) = arc tang. a r h £
| arc cos. fl4-arc’sra. := ~
arc cosec. a -+- arc sec. a = — ,
On trouveia de plus, pour des valeurs positives de a, (4) arc eot. « arc lang a=^, et, pourfe'vaWrS li^atîvtes de a, et* .O,), , T arc cot. a -v- arc tana. a ~ - — .
* .îoj ma %
converge vers une -te fixe, ,1 est souvent n.ilfc d’inique, °ce«te limite P- une notation particulière V'cW ce que nous ’ en plaçant l a&réyjatioh
M9a ^ *"“f' *0»mJmb.-,nnb rl tn ■
devant laquai Wde dont H .«agit. Qllelque. ots, tandis quune ou plusieurs variables convergent exPression qui renferme limites 7 m 1 ^«verge it- la-fbîs vers plusieurs battes dtlTerentes les unes des autres. Nous indiqnets alors une qdèïconque de ces dernières limites , fa*1. % jf. ‘ ou*,les parenthèses placées à la suite de rtvatton hm. , de manière i entourer i’expresque IVh ^afréi Suppoions, pour fixer les » qu une variable positive ou négative repré-
14 cours d’analyse,
sentée par æ converge vers fa limite i , et désignons par A un nombre constant : il sera facile de s assurer que chacune des expressions
lim. ( Ax) , Uni (sin. æ) a une valeur unique déterminée par f équation lim, "(A*-) =&=■ i , ou l/m. (sin. .r) o; tandis que l’expression
admet deux valeurs, savoir, + oo, Too , et lim. )
une infinité de valeurs, comprises entre les limites — i et -h i.
Nousallons terminer ces pretiihmafrès en présentant, sur les quantités moyennes, plusieurs théorèmes dont la connaissance nous sera fort utile dans la suite de cejt ou vrage. 4)n< appelle waycnnc entre plusieurs quantités données une nouvelle quantité comprise entre la plus petite et la plus grande de celles que Ion considère. D’après. cette définition, il est clair quil existe une infinité: de moyennes entre plusieurs quantités inégales , et que la moyenne entre plusieurs quantités égales se confond avec chacune d’elles. Cela posé, on établira facilement, ainsi qu’on peut le voir dans la note II.e , les propositions suivantes.
préliminaires. 15
«JVTH,ÉORfeME- SoicntK V, i" ....plusieurs / " Ues ' ? m*me s,8'“c en ttoifi/ij-e n, et a, a, a...
Quantités quelconques en nombre égal à celui des Premières. La fraction
Sem m°yenne entre les suivantes t. «' «" „
Corollaire. Si I’on suppose l>~6' = l," , >
iclumdu tliéorèinc précédent que la quantité
Tt
«‘ moyenne «ftré dé» sttSvafttés'
p ewiïemrfiiftiqV-t ^Stiint
amyv""e pst «-e quVn uni' ntoijenno arithmétique.
