CHAPITRE VI

Séries convergentes et divergentes. Règles sur Ici convergence des Séries. Sommation de quelques Séries convergentes.

, 1." Considérations générales sur les Sériés.

On appelle sérié Ame suite indéfinie de quantités n0, uti «j» &c. ...

^i dérivent les unes des autres suivant une loi dé*» Ruinée. Ces quantités elles-mêmes sont les différens lpf^ies de la série que l’on considère. £oit

k somme des n premiers termes , n désignant un n°mhrc entier quelconque. Si , pour des valeurs de n toujours croissantes, h somme s„ s’approche indéfiniment d’une certaine limite s, la série sera dite Convergente, et la limite en question s’appellera la s°mme je [a série. Au contraire, si, tandis que n Cr°ît indéfiniment, la somme ne s’approche d’aulne limite fixe, la série sera divergente, et n’aura Pfiis de somme. Dais l’un et l’autre cas, le terme qui c°rrespond à l’indice n , savon* un, sera ce qu’on n°mme le tenue général H suffit que l’on donne ce

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terme général en fonction de i’indice n, pour que 1*

série soit complètement déterminée.

L’une des séries les plus simples est la progrès' sion géométrique

qui a pour terme général xn , c’est-à-dire , la puis' sauce n.m‘ de la quantité x. Si dans cette série »*3 fait la somme des n premiers termes , on trouvera 3

1 & ■+* x -+- . . . -+- xn 1 — - - - ; f

'h-HHï èS I 1

et, comme pour des valeurs croissantes de rt ^ valeur numérique de la fraction converge vers la limite zéro, ou croît au-delà de toute limite» suivant qu’on suppose la valeur numérique de * inférieure ou. supérieure à limité , on doit conclut que dans la première hypothèse la progression

i , x, x: (i ,UOq t3fjo^

est une série convergente qui a pour somme— tandis que dans la seconde hypothèse la mèmeupr^ gression est une série d ivergeçitc ?qui n’a plus ^ somme.

D’après les principes ci-dessus établis , pour quC la série

(*) «. «•••• soit convergente , il est nécessaire et il suffit ^que d& valeurs croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme , u M