I." PARTIE. CHAP VI

En examinant les résultats qu’on vient d’obtenir, 0,1 reconnaît immédiatement que, parmi les séries °rdonnées suivant les puissances ascendantes et entres de la variable x , les unes sont tantôt convergentes, tantôt divergentes, selon la valeur attriu®e à cette variable , tandis que d’autres restent t°ujours convergentes, quel que soit x , et d’autres tou jours divergentes, excepté pour x=o. On peut jouter que le théorème i .er ne laisse d’incertitude jUr la convergence d’une semblable série que dans e cas où la valeur numérique de x devient égale la constante positive représentée par , c’çst-à- ^re> lorsqu’on suppose

ans ce cas partièûïï^,7 fê" série est tantôt conver- ^e,îte , tantôt divergente, et la convërgerice dépend ^e^quéf<ùris,'dd!y?ghëfdè,ltl^ Variable x. Par exemple, 1 (^ans la série (^), pour laquelle A = i , on lait SUccessivemcnt

i no , .s omoiouflt ai îfij

°btiendra les deux suivantes

b) ~ 1 > -t-ÿü — kc...,

*iuoiuo! J»-* > . 4 "

je *** Première est divergente [voyez dans le §. 2 c°rollaire du 3 / théorème] , et la seconde corn er-

156 cours d’analyse.

gente , ainsi que cela résulte du 3.' théorème [§■ }]' II est encore essentiel de remarquer que par sude du premier théorème , lorsqu’une série ordonné suivant les puissances ascendantes et entières du116 variable jç sera convergente, poyr valeur 0 mérique de x (différente de zéro ; elle restera vergente , si l’on vient à diminuer cette valeur rique, ou même à la faire décroître indéfiniment.

Lorsque deux séries ordonnées suivant les p1^ sançes ascendantes et entières de la variable x convergentes pour une même valeur de la variai^0’ on peut leur appliquer les théorèmes 5 et 6 du ^ Cette remarque suffit pour établir les deux prof0

sitions que je vais énoncer. ^ ^

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