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Exemples. — Equations homogènes avec leurs intégrales en

regard :

LH EAN AT EE PATRON à ri 2C)

(Co + ) dx + (y £a 5) (A ==> () al c te = DE Log ( JAies A J | FER cie RON MER CLEO ere Ph PEAR lon Cr eve

141. Remarques sur les équations à la fois homogenes et différentielles exactes. — 1° Quand l'équation P dx + Qdy — 0 réunit ces deux caractères, elle s'intègre immédiatement sans aucune quadrature, pourvu que son degré d’homogénéité 7 ne soit ÈS POsons eénceler,

,J)= Pa + Qy.

On aura, eu égard à l'identité P°, — Q°, et au théorème d’Euler

sur les fonctions homogènes (t. [, n° 1 He

dF 0P PROS D co D (2 LA )=u+op, Job 2Q

—0Q+(z ie °0 See 110

FRE ne DV.

y Ov

De là; l'identité (5) PRO N) = (R N (EDEeO TR):

Donc, # + 1 n’étant pas nul, l'intégrale générale de l'équation Pdx + :Qdy = 0 sera PnueS

Exemples. — Equations avec leurs intégrales en regard :

(= AN 2 xt (y —42y 2%) dy=0 x} 6x" y— 6y°x+J"+C COR AMG CE RERO D Ge = C

Le a 1 Fe v Tee ( Abe ae D: nn) (A) 0 À Te Eee

2° Supposons encore que Pdx + Qdy soit une différentielle

exacte. Si P et Q sont homogènes de degrés — 1,on a # + 1 —Ù.

Donc, Pr + Q y ayant une différentielle totale nulle en vertu de

équation (5), on a idenl'quement (K étant une constante détermimée) P# + Q y — k

on ne connaît donc plus d’intégrale à priori et il faut recourir à la méthode générale d'intégration. |

3° Réciproquement, si P et Q étant homogènes et de degré — +, Pa + Q y se réduit identiquement à une constante #, Pda + Qdy sera une différentielle exacte. En effet, cette identité permet d'exprimer P au moyen de ©, et il vient

Pdx +- Qdy “x k ee en

Ü V QD e —+ (Qx) d er

Or Qx étant de degré 0, est une fonction e(u) du rapport u — y : À; par conséquent, on à

14h = —+ o(u) du,

Pdx + Qdy = À

ce qui est une différentielle exacte.

Si, en particulier, # — 0, équation se réduit à o{w) du — 0 ; elle n'a donc d'autre intégrale que # — const. ou y — Cx.

4° Toute équation homogène Pdx + Qdy — 0 peut être rendue différentielle exacte. Il suffit, pour cela, de la diviser par Pa + Q y.

En eflet, l'équation homogène de degré — 1

Pa + QU Prit-Q y e

est immédiatement intégrable, en vertu de la remarque 3° (le

nombre *# étant égal à 1). Mais le degré d’homogénéité de cette

équation est — 1, ce qui est le cas d'exception de la remarque 1°.

N'’était donc ce cas, toutes les équations homogènes s’intégreraient sans quadrature.

Le facteur, mverse de Px + Q y, par lequel 1l faut multipher l'équation pour la rendre immédiatement intégrable, s'appelle le facteur intégrant de l'équation. Nous y reviendrons dans un numéro

suivant.