NUE SA TUEUR

et elle a pour imtégrale générale

\ Xe + \ vu Ce

Considérons maintenant les équations du tvpe (2) XYdx + X,Y,dy = 0

où X, X, sont fonctions de x, Y et Y, fonctions de y seuls.

On dit qu’elles s’intèerent par séparation des variables. HW sufht, en effet, de les multiplier par le facteur 1 : X,Y pour les ramener à la forme

: de Æ — dy = 0 os + y « pi

et les variables sont séparées.

En intégrant cette équation, on obtiendra lPintégrale générale de (2). Toutefois il restera à vérifier si l’on n'a pas supprimé de solution annulant le facteur X, ou le facteur Y.

Les solutions des équations X, — 0 et Y — 0 sont des valeurs constantes 4 = à ou y == $. Ce sont aussi des solutions de léquation (2) dont elles annulent les deux termes ; et elles peuvent être acceptables, car, au point de vue géométrique, elles correspondent

à des droites parallèles aux axes.

Exemples. — Les intégrales sont en regard des équations. (EC) dE (1e?) dy 0 | 2x7? +7? = 2 Log (Cx : y) (a) dx = 2% L'/ax — à dy den L'ax — a° = CES ax — 4”)

sec’xtgydx+sec ytoxdy=0 TS DFE 140. Équations homogènes. — Si les fonctions P et Q dex, y sont homogènes et du mème degré, l'équation PAL RO (8) est une équation homogène. Dans ce cas, le quotient P : Q ne dépend

que du rapport y : æ. L’équation, résolue par rapport à y, se

ramène donc au tvpe ; s!

(3) Me e(Z :

Les variables deviennent séparables en changeant d’inconnue par

la substitution PÉSUL, d'où Vu + du" L'équation entre w et x sera, en eflet, (4) LUE pu) AUS

d’où, en divisant par {@(u) — u] et en multipliant par dx,

da du du L' LA NT SR 1 ou) — È Jo) — u On obtiendra l'intégrale générale de (3) en remplaçant « par y: æ >

dans l’équation précédente.

On trouve aussi des solutions en annulant le facteur supprimé Q(u) — u, ce qui donne généralement pour # un certain nombre de valeurs constantes # — u,,u — u,... Ces relations satisfont à l’équa-

tion (4) dont elles annulent les deux membres; donc les relations Mi, VUS

sont des solutions de l'équation (3).

On peut aussi intégrer les équations homogènes en les ramenant à des différentielles exactes. Nous le ferons dans le numéro suivant,

dde, 2