RIRE

[= = FANS .

2° Si Ab — aB — 0, on change d’inconnue seulement par la

relation

__ Ax an yes ax + Li VE ; HOUR ENT <a A d +: ds

L’équation (6) se ramène à l'équation (non homogène)

et les variables x et x se séparent.

On aura donc à intégrer l’une de cvs deux équations. On remplacera n et 5, ou rx seulement, par leurs valeurs et l’on obtiendra

Pintégrale générale de l’équation (6).

158 CHAPITRE VI. ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE 143. Equations linéaires. — Ce sont celles qui sont linéaires

en y et y’, donc du type (7) PAR ERIEURS, X et X, désionant des fonctions de x seul. Le terme X, s'appelle le l 8 PI second membre; s’il est nul, équation est sans second membre. 1° L'équation linéaire sans second membre s'intègre par une seule quadrature. En eftet, elle réduit à

VEHX y. DE © d'oit, ASS EX

Les variables sont séparées, l'intégrale sera Log 7 = — \ Xdx an Log Las d’où Y ae Ce—/ Xdx.

2° Pour intégrer l’équation linéaire sans second membre, désignons par # une intégrale particulière de l’équation sans second membre. Soit par exemple, | nr Le Xdæx et changeons de fonction inconnue par la relation , A , ’ ’ VEUT, d’où VAR EURE Comme #' + Xw est nul par hypothèse, l'équation (7) se

réduit à

4] ’ 5 dl y à de à UT RC d’où Lu ee QE RE ui à dx.

Remplacons maintenant, dans y = uz, les deux facteurs # et z par les valeurs trouvées. L'intégrale générale de (7) sera donnée par la

formule (comportant deux quadratures) (8) ÿ — ef C + \x, are-fste |

et il n’y a pas d’intégrale singulière.

Remarques. — 1° Si l’on connaît une intégrale particulière y, de de l'équation linéaire, son intégrale générale s'obtient par une seule quadrature. En effet, si lon soustrait de l’équation (7) celle qu’on

en déduit en remplaçant y par y,, l'équation devient

OT) Os | |

veuf or de MO à rar et EP NE 2 1 A See bé ‘L FANS

APE RS ASTON RES RENTE LE ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRÉ is)

C’est donc une équation linéaire sans second membre par rapport à y — y, et elle a pour intégrale VV Ce—/Xux.

2° Si l’on connaît deux intégrales particulières y, et y, de l’équation linéaire, l'intégrale générale s'obtient sans aucune quadrature. En eflet, y, vérifie l'équation précédente pour une valeur particulière de C; et, en divisant membre à membre, il vient di Ar LR Jose

Exemples. — Les intégrales sont en regard des équations.

à 3 ; enmx V + ay = e"? RCE ; , : m + 4 : ny RS 2 pen 1)? 7 PNEUS 3 "NEUG (x + ) Y=(æ + r)t(er + C) y + y cos X = sin À cos x PERCÉE PS ET LES] à do Ûo y y = g(x) = Ce?+o—1i1 J re 2 x 1 ) dx J F

144. Équation de Bernoulli. — En multipliant par y” le second

membre d’une équation linéaire, on obtient lPéquation de Bernoulli

(9) VX Xe Cette équation, divisée par }", se met sous la forme Re ; FN RE Prenons 7? pour inconnue en posant I 3 A / y” to pr d’où À (le 1) 4 > l’équation se ramène à l'équation linéaire Z —(hñ—1)X;=—(n — 1) X,.

Pavaeurdezouder fm Seradonc

I 2H)/xXd: x ; A EPITE L

Cette lormule devient illusoire si 2 = 1, mais, dans ce cas, Péquation de Bernoulli se réduit à l’équation linéaire sans second membre

Exemples. — Les intégrales sont en regard des équations. (1) pe ay = ax y} Pie CITES VOIES A LEZ A + 227) 100 n—1 4 + | Étre J'AT EE A | INUES Ce EREREt / AY, (a f— | j ! D NN A at ! s Te, CS ME 0 N'E UE 12 ) sua V | 31) SsUQUE Le JE (LES) DYRP ANG | 20) PL AC

145. Équation de Riccati. — C’est l'équation YEN VE REV X D Ee. 0

où les lettres X désignent des fonctions de x seul. Cette équation

peut s'intégrer quand on en connaît une solution particulière y,.

ae

Posons, en effet, l'équation devient LRO AIRE NT ENTER RIT QE et, y, étant une intégrale particulière, elle se réduit à LR EREN Entente

C’est une équation de Bernoulli, qu'on ramène à une équation linéaire en posant ? = 1 : #. On serait donc ramené directement à

une équation linéaire en posant tout de suite

à y — y, Æ TA é U

Si l’on connaît trois intégrales particulières y,, Ya, y; de l'équation de Riccati, l'intégrale générale s'obtient sans aucune quadrature. En effet, on connaît alors deux intégrales particulières : 1e I |

Here Ho

; 9 j Je Sa Der 24 :4

de l’équation en #. Donc l'intégrale de l’équation en # est (n° 143)

ner Const.

Celle de léquation de Riccati s'obtient par lélimination des lettres #, ce sera TR, HR Const.

SUR U NN EE 7 Cette formule exprime que le rapport anharmonique de quatre intégrales de l'équation de Riccalt est constant. REMARQUE. — On peut supposer X différent de O dans léquation précédente, sinon elle serait linéaire. Alors, par la substitution

Min iclese rameneis laiforme

RATE te LE ) NN

ou, plus simplement, P et Q étant fonctions de + seul à +- + Pr + (QREEAGE Pasta substtution si "710: #, celle-ci ‘revient à l'équation du second ordre u" + Puy” + Qu = 0.

Cette nouvelle équation, que nous étudierons en détail dans le chapitre suivant, est une égualion linéaire sans second membre.

CAS D'INTÉGRABILITÉ DE L ÉQUATION DE RICCATI. — L’équation PSS ONE

est un cas particulier de celle de Riccati, elle s'intègre sous forme finie, chaque fois que 2 : (mi + 2) est un nombre impair [positif ou négatif], — ou, ce qui revient au même, chaque fois que m : (m + 2)

est un nombre pair (bosilif ou négatif).

LD u ‘ En effet, par la substitution y = el elle devient

ue dbu EM

C’est la transformée obtenue par Euler. Nous prouverons, dans

le chapitre suivant, qu'elle s’intèore sous forme finie pour les

valeurs de 77 indiquées ci-dessus.

Vol. IT. II